Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich i oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez lub nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:

gdzie oraz przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych rzeczywistych dodatnich, ponieważ co wynika z nierówności Cauchy’ego między średnimi, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów i dążą do zera:

Z samej konstrukcji mamy:

Przykład Aby wyznaczyć średnią arytmetyczno-geometryczną liczb i najpierw wyliczamy wartości średnich:

i dalej rekurencyjnie:

Po pięciu początkowych iteracjach otrzymujemy: {| class="wikitable" |- ! ! ! |- | 0 | 24 | 6 |- | 1 | 15 | 12 |- | 2 | 13,5 | 13,416407864998738178455042… |- | 3 | 13,458203932499369089227521… | 13,458139030990984877207090… |- | 4 | 13,458171481745176983217305… | 13,458171481706053858316334… |- | 5 | 13,458171481725615420766820… | 13,458171481725615420766806…

Jak widzimy na przykładzie, ciąg zgodnych cyfr po przecinku (zaznaczonych podkreśleniem) wydłuża się mniej więcej dwukrotnie z każdym powtórzeniem. Średnia arytmetyczno-geometryczna liczb 24 i 6 jest wspólną granicą podanych dwóch ciągów, równą w przybliżeniu 13,4581714817256154207668131569743992430538388544AGM(24, 6) w WolframAlpha..

Własności Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością:

Wielkość nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu

Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.:

czyli w szczególności dla

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta:

gdzie:

oraz i zaś i dla otrzymujemy ze wzorów powyżej.

Przypisy

Bibliografia L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, .

Linki zewnętrzne

Kategoria:Średnie Kategoria:Granice Kategoria:Pierwiastki kwadratowe