Średnia arytmetyczno-geometryczna liczb 24 i 6 jest wspólną granicą podanych dwóch ciągów, równą w przybliżeniu 13,4581714817256154207668131569743992430538388544AGM(24, 6) w WolframAlpha..
Własności Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:
z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością:
Wielkość nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu
Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.
Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.:
czyli w szczególności dla
Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta:
gdzie:
oraz i zaś i dla otrzymujemy ze wzorów powyżej.
Przypisy
Bibliografia L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, .
Linki zewnętrzne
Kategoria:Średnie Kategoria:Granice Kategoria:Pierwiastki kwadratowe