Problem kolekcjonera kuponów opisuje klasę konkursów, w którym gracz otrzymuje wygraną po zebraniu wszystkich kuponów z określonej puli. Problem polega na przewidzeniu jak długo należy zbierać kupony, aby otrzymać wygraną. Problem ten jest interesujący z matematycznego punktu widzenia, jak i ma wiele zastosowań w informatyce.
Analiza problemu Oto doprecyzowanie podstawowego wariantu problemu kolekcjonera kuponów: mamy urn, do urn tych wrzucamy kolejno kule, wybór każdej urny jest równo prawdopodobny oraz kolejne wybory są wykonywane niezależnie.
Interesuje nas liczba rzutów po której w każdej urnie znajdzie się co najmniej jedna kula. Liczba rzutów jest zmienną losową.
Problem ten można stosunkowo łatwo zanalizować, rozbijając proces wypełniania urn na etapy. Załóżmy, że w pewnej chwili wypełnionych jest urn i niech oznacza liczbę rzutów potrzebnych do zapełnienia urn (czyli do dorzucenia jednej kuli do pustych urn). Wtedy jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym z parametrem
zmienne są niezależne.
Wartość oczekiwana Korzystając z tego, że wartość oczekiwana zmiennej o rozkładzie geometrycznym z parametrem wynosi oraz z tego, że wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych jest równa sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych otrzymujemy
Suma nazywana jest -tą liczbą harmoniczną i oznaczana symbolem
Ponadto
gdzie jest stałą Eulera-Mascheroniego.
W konsekwencji
Wariancja Wariancję zmiennej losowej można wyznaczyć w podobny sposób jak wyznacza się wartość oczekiwaną. Zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym z parametrem ma wariancję równą oraz z wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, skąd wynika że
Ponadto
zatem asymptotycznie zmienna jest mocno skoncentrowana.
Bibliografia
Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa