Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych.
Definicja pochodnej kierunkowej thumb|273x273px|Paraboloida, która jest wykresem funkcji w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum. Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa i zawarty w niej podzbiór otwarty
Pochodną kierunkową funkcji wzdłuż wektora jednostkowego w punkcie nazywamy granicę
zakładając, że granica ta istnieje.
Związek pochodnej kierunkowej z gradientem link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Directional_derivative_contour_plot.svg|mały|275x275px|Okręgi przedstawiają linie o stałych wartościach funkcji Zielony wektor wskazuje gradient funkcji, wektor pomarańczowy wskazuje kierunek, w którym liczy się pochodną kierunkową. Wektor gradientu jest dłuższy, gdyż wskazuje kierunek największej zmiany wartości funkcji. Twierdzenie:
Jeżeli istnieje gradient funkcji w punkcie (co oznacza, że jest różniczkowalna w )
to pochodna kierunkowa funkcji w kierunku wektora jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji i wektora
Przykład (1) Niech będzie dana funkcja
(2) Gradient funkcji wynosi
(3) Pochodna kierunkowa funkcji w kierunku jednostkowego wektora dana jest zależnością
czyli
Twierdzenia Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji i określonych w otoczeniu punktu w którym funkcje te są różniczkowalne, słuszne są reguły:
(1) reguła sumy
(2) reguła stałej: dla dowolnej stałej zachodzi
(3) reguła iloczynu (reguła Leibniza)
(4) reguła łańcuchowa: jeśli jest różniczkowalna w zaś jest różniczkowalna w to
Pochodna w kierunku wektora niejednostkowego (1) Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora ma postać:
gdzie – długość wektora
(2) Twierdzenie
Gdy jest różniczkowalna w punkcie to
czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.
Uwaga:
Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.
Pochodna kierunkowa pochodnej Frécheta Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta pochodną kierunkową wyznacza wzór:
Związek z pochodną cząstkową
Jeśli jest bazą standardową w to pochodna kierunkowa funkcji wzdłuż wektora dla jest równa pochodnej cząstkowej względem zmiennej tzn.
gdzie
Rozmaitości różniczkowe
thumb|221x221px|Przestrzeń styczna 2-wymiarowa (tj. płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości (powierzchni) w punkcie oraz wektor styczny do krzywej przechodzącej przez punkt Jeżeli:
(1) jest funkcją określoną w otoczeniu punktu rozmaitości różniczkowej różniczkowalną w punkcie
(2) oznacza wektor styczny do rozmaitości w punkcie
(3) odwzorowanie generuje krzywą różniczkowalną taką że
oraz
to pochodną kierunkową w punkcie wzdłuż wektora definiuje wzór
Tw. Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej
Przestrzenie liniowo-topologiczne
Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha) jest tzw. pochodna Gâteaux.
Różne oznaczenia pochodnej kierunkowej Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, np.
Zobacz też pochodna Frécheta pochodna Gâteaux pochodna kowariantna pochodna zupełna
Inne forma różniczkowa przestrzeń styczna
Bibliografia
Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Pochodne i różniczki