Funkcję (lub ) nazywamy funkcją szybko malejącą w nieskończoności, jeśli spełnia dwa warunki:
Dla dowolnych wielowskaźników funkcja jest ograniczona na
Drugi warunek można zastąpić warunkiem następującym:
Dla dowolnego i dowolnego wielowskaźnika funkcja jest ograniczona na
Funkcje szybko malejące w nieskończoności tworzą przestrzeń wektorową, którą oznaczamy Jeśli są to funkcje o wartościach rzeczywistych, to jest to przestrzeń nad ciałem liczb rzeczywistych a jeśli są to funkcje o wartościach zespolonych, to jest to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych
W przestrzeni tej topologia jest określona przez zbieżność ciągu:
Ciąg jest zbieżny do zera, gdy: Dla dowolnych wielowskaźników ciąg jest jednostajnie zbieżny do zera na
Warunek ten można zastąpić warunkiem następującym: Dla dowolnego i dowolnego wielowskaźnika ciąg jest jednostajnie zbieżny do zera na
Własności
Różniczkowanie jest odwzorowaniem ciągłym Jeżeli to Transformacja Fouriera jest izomorfizmem na siebie.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Analiza harmoniczna