Pojęcie, którego szczególnymi przypadkami są: jądro homomorfizmu grup, jądro homomorfizmu pierścieni, modułów itp.

Jądro morfizmu Niech będzie kategorią z morfizmami zerowymi. thumb|240px|Ilustracja definicji jądra morfizmu Morfizm nazywamy jądrem morfizmuМатематическая энциклопедия, t. 5, op. cit., s. 1044. jeśli:

dla każdego morfizmu takiego że istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm że

Jądro morfizmu oznaczane jest przez

Jeśli i to istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony izomorfizm że Na odwrót, jeśli i jest izomorfizmem, to morfizm jest jądrem Zatem wszystkie jądra morfizmu tworzą podobiekt obiektu który oznaczany jest przez

Własności jądra morfizmu Jeśli to jest monomorfizmem normalnym. Twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe. Jądrem morfizmu zerowego jest morfizm jednostkowy Jądro morfizmu jednostkowego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w istnieje obiekt zerowy. Nie w każdej kategorii z morfizmami zerowymi każdy morfizm ma jądro. W kategorii z obiektem zerowym morfizm posiada jądro wtedy i tylko wtedy, gdy w istnieje kwadrat uniwersalny względem morfizmów i Warunek ten jest spełniony w szczególności dla dowolnego morfizmu lokalnie małej lewostronnie kategorii z obiektem zerowym i koiloczynem.

Kojądro morfizmu thumb|240px|Ilustracja definicji kojądra morfizmu Niech będzie kategorią z morfizmami zerowymi. Morfizm nazywa się kojądrem morfizmuМатематическая энциклопедия, t. 3, op. cit., s. 74. jeśli:

dla każdego morfizmu takiego że istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm że

Kojądro morfizmu oznacza się

Jeśli i to istnieje jednoznacznie określony izomorfizm że

Na odwrót, jeśli i jest izomorfizmem, to jest kojądrem morfizmu Zatem wszystkie kojądra morfizmu tworzą obiekt ilorazowy obiektu który oznacza się

Pojęcie to jest dualne do pojęcia jądra morfizmu. W kategoriach przestrzeni wektorowych, grup, pierścieni i innych struktur algebraicznych opisuje największy obiekt ilorazowy obiektu zerujący obraz homomorfizmu

Własności kojądra morfizmu Jeśli to jest epimorfizmem konormalnym. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe. Kojądro morfizmu zerowego jest równe Kojądro morfizmu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w jest obiekt zerowy.

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Morfizmy