Algebra von Neumanna (albo: W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych na pewnej przestrzeni Hilberta , która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w , a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna zapoczątkowana została z końcem lat dwudziestych XX wieku przez Johna von Neumanna i Francisa MurrayaJ. von Neumann, Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen, „J. Reine Angew Math”. vol. 161 (1929) 208–236.J. von Neumann, On a certain topology for rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 111–115.F.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 116–229. MR 1503275, http://dx.doi.org/10.2307/1968693.F.J. Murray and J. von Neumann, On rings of operators. II, „Trans. Amer. Math. Soc.” 41 (1937), no. 2, 208–248. MR 1501899, http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1937-1501899-4.J. von Neumann, On rings of operators, III, „Ann. of Math”. vol. 41 (1940) 94–161. (używali oni nazwy pierścienie operatorowe) i motywowana była potrzebą formalizacji języka mechaniki kwantowejJ. von Neumann, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism (Part I). „Rec. Math (Mat. Sbornik) N. S.” vol. 1 (1936) 415–484..

Nazwa algebra von Neumanna pojawia się po raz pierwszy w książce DixmieraJ. Dixmier, Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars, 1957.; jednak on sam przypisuje ją DieudonnémuM. Raussen, Interview with Jacques Dixmier. „Eur. Math. Soc. Newsl.” 72 (2009), 34–41.. W literaturze nazwa ta była używana wymiennie z nazwą W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy (np. Takesaki) dokonują następującego rozróżnienia nazywając W*-algebrą C*-algebrę , która maja wierną (różnowartościową) reprezentację na przestrzeni Hilberta o tej własności, iż obraz jest algebrą von Neumanna (w zdefiniowanym powyżej sensie).

Podstawowe własności Każda algebra von Neumanna ma jedynkę (tzn. element neutralny mnożenia). Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej. Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa. Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która jest również algebrą von Neumanna.

Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru , symbol , oznacza tradycyjnie tzw. komutant zbioru , tj. następujący zbiór: . Analogicznie, oznacza drugi komutant zbioru , tj. komutant dla komutanta .

Niech będzie pod-*-algebrą , zawierającą operator identyczności . Wówczas następujące warunki są równoważne:

jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. inaczej: jest algebrą von Neumanna); jest domknięta w mocnej topologii operatorowej; jest domknięta w tzw. topologii ultrasłabej,

przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności , gdzie oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na .

Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.

Przykłady Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów ozn. na dowolnej przestrzeni Hilberta , są naturalnymi przykładami algebr von Neumanna. Niech będzie miarą lokalizowalną (a więc, na przykład, miarą -skończoną) na przestrzeni mierzalnej . Wówczas przestrzeń H = L2(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na przestrzeni tej działają w naturalny sposób operatory mnożenia przez funkcje z , tj. każdej funkcji odpowiada operator (ograniczony) dany wzorem: . Rodzina wszystkich operatorów mnożenia ozn. , jest przemienną podalgebrą , która jest algebrą von Neumanna (w ten też sposób, utożsamia się algebrę z algebrą operatorów). Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna jest postaci , dla pewnej miary lokalizowalnej . Dla dowolnej C*-algebry , jej drugi komutant oznaczany symbolem , jest algebrą von Neumanna. Jeżeli jest (być może: abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona (wyposażona w iloczyn Arensa; C*-algebry są regularne w sensie Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla , w następującym sensie: Niech będzie reprezentacją na przestrzeni Hilberta , oraz niech oznacza algebrę von Neumanna . Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe , o następujących własnościach: gdzie jest kanonicznym zanurzeniem w ; jest / -weak ciągłe; . W szczególności, jeżeli jest uniwersalną reprezentacją algebry (tj. sumą prostą po wszystkich GNS-reprezentacjach pochodzących od stanów na ), to jest *-izomorficzna z . Hiperskończony faktor typu II1, oznaczany tradycyjnie przez: .

Typy Algebry von Neumanna dzielą się na trzy zasadnicze typy. Typ I: jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci

gdzie dla każdego algebra jest przemienną algebrą von Neumanna oraz jest pewną przestrzenią Hilberta Typ II1 : jest typu II1, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I oraz dla każdego istnieje taki normalny śladowy stan , że . Typ : jest typu , gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I bądź II1 oraz istnieje rosnąca sieć rzutów zbieżna do w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego algebra jest typu II1. Typ III: jest typu III, gdy nie jest typu I, II1 ani typ .

Każda algebra von Neumanna rozkłada się na sumę

gdzie każdy z (być może zerowych) jest takiego typu, jaki wskazany jest w indeksie dolnym.

Przypisy

Linki zewnętrzne Von Neumann algebra , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Kategoria:C*-algebry Kategoria:Przestrzenie Hilberta