Nierówność Grönwalla (lemat Grönwalla; nierówność Grönwalla–Bellmana) – jedna z podstawowych nierówności stosowanych w teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana jest m.in. w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy przez szwedzkiego matematyka, , w 1918 r.
Nierówność Grönwalla Niech będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech Niech ponadto będą funkcjami ciągłymi określonymi na o wartościach w Jeżeli dla każdego zachodzi nierówność
to dla każdego zachodzi również
Dowód Poniższy dowód podał J. A. Oguntuase:
Niech
Wówczas
Ponadto, niech
Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez otrzymujemy
Ostatecznie,
Wynika z powyższego, iż
Czyli
Ostatecznie,
Postać różniczkowa nierówności Niech będzie odcinkiem na prostej rzeczywistej przy Niech i będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na odcinku Jeżeli jest funkcją różniczkowalną na wnętrzu oraz zachodzi szacowanie dla wszystkich to zachodzi nierówność dla wszystkich
Przypisy
Grönwalla Kategoria:Równania różniczkowe zwyczajne Kategoria:Twierdzenia o całkach z funkcji rzeczywistych