thumb|Tablica na dublińskim moście upamiętniająca odkrycie przez Hamiltona grupy kwaternionów. Grupa kwaternionów – nieabelowa grupa multyplikatywna rzędu 8, oznaczana symbolem lub rzadziej lub , składająca się z następujących elementów: będących kwaternionami. Generatorami tej grupy są kwaterniony oraz .
Grupa kwaternionów została odkryta przez Hamiltona w 1843 roku. Matematyk wpadł na ten pomysł podczas spaceru, a główne wzory wyrzeźbił na kamiennym moście w Dublinie.
Grupę kwaternionów można również potraktować jako grupę macierzową będącą podgrupą specjalnej grupy liniowej . Określmy następujące macierze:
.
Wtedy zbiór tworzy grupę .
W grupie kwaternionów można utworzyć następującą tablicę Cayleya: {|class="wikitable" style="text-align:right" ! || 1 || −1 || i || −i || j || −j || k || −k |- ! 1 | 1 || −1 ||bgcolor=#ffcccc| i ||bgcolor=#ffcccc| −i ||bgcolor=#ccffcc| j ||bgcolor=#ccffcc| −j ||bgcolor=#ccccff| k ||bgcolor=#ccccff| −k |- ! −1 | −1 || 1 ||bgcolor=#ffcccc| −i ||bgcolor=#ffcccc| i ||bgcolor=#ccffcc| −j ||bgcolor=#ccffcc| j ||bgcolor=#ccccff| −k ||bgcolor=#ccccff| k |- ! i |bgcolor=#ffcccc| i ||bgcolor=#ffcccc| −i || −1 || 1 ||bgcolor=#ccccff| k ||bgcolor=#ccccff| −k ||bgcolor=#ccffcc| −j ||bgcolor=#ccffcc| j |- ! −i |bgcolor=#ffcccc| −i ||bgcolor=#ffcccc| i || 1 || −1 ||bgcolor=#ccccff| −k ||bgcolor=#ccccff| k ||bgcolor=#ccffcc| j ||bgcolor=#ccffcc| −j |- ! j |bgcolor=#ccffcc| j ||bgcolor=#ccffcc| −j ||bgcolor=#ccccff| −k ||bgcolor=#ccccff| k || −1 || 1 ||bgcolor=#ffcccc| i ||bgcolor=#ffcccc| −i |- ! −j |bgcolor=#ccffcc| −j ||bgcolor=#ccffcc| j ||bgcolor=#ccccff| k ||bgcolor=#ccccff| −k || 1 || −1 ||bgcolor=#ffcccc| −i ||bgcolor=#ffcccc| i |- ! k |bgcolor=#ccccff| k ||bgcolor=#ccccff| −k ||bgcolor=#ccffcc| j ||bgcolor=#ccffcc| −j ||bgcolor=#ffcccc| −i ||bgcolor=#ffcccc| i || −1 || 1 |- ! −k |bgcolor=#ccccff| −k ||bgcolor=#ccccff| k ||bgcolor=#ccffcc| −j ||bgcolor=#ccffcc| j ||bgcolor=#ffcccc| i ||bgcolor=#ffcccc| −i || 1 || −1
Podgrupami grupy kwaternionów są oraz . Wszystkie podgrupy tej grupy są normalne.
Ponieważ każda podgrupa nieabelowej grupy jest normalna, to mówimy, że grupa kwaternionów jest grupą Hamiltona.
Grupa kwaternionów pojawia się w mechanice kwantowej, w teorii spinu elektronu Wolfganga Pauliego, a powyższe macierze nazywane są macierzami Pauliego.
Przypisy Antoni Kościelski, Kwaterniony i obroty, s. 16.
WolframAlpha, Quaternion Group. Marshall Hall, The theory of groups, II Wydanie, 1999, AMS Bookstore, s. 190 . Keith Conrad, Generalized Quaternions, s. 1. Kazimierz Szymiczek, Algebra, Wykłady dla Studiów Doktoranckich, 29.11.2010, s. 2. Grupa kwaternionów, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej. . Vi Hart, Henry Segerman, The Quaternion Group as a Symmetry Group. P.R. GirardThe quaternion group and modern physics, 1983. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg, Algebra. Gruppe – Ringe – Körper, s. 145. H. Kurzweil, Endliche Gruppen: Eine Einführung in die Theorie der endlichen Gruppen, s. 158. . Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. 31–32.
Linki zewnętrzne Quaternion group , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].
K