norma maksimum, dana wzorem
Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych): Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe. Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.
Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonych Przestrzeń wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem
Ważnymi przykładami takich przestrzeni są (przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym) czy (przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej z topologią porządkową).
Powyższą konstrukcję można uogólnić. Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z normą
jest przestrzenią Banacha.
Przestrzenie ℓ∞, c i c0