Przestrzeń zwartą powyżej można zastąpić dowolnym zbiorem wymagając dodatkowo, by rozważane funkcje były ograniczone (nie zakłada się ciągłości), gdyż zbiór nie ma wybranej żadnej topologii. Tak zdefiniowaną przestrzeń ograniczonych funkcji oznacza się symbolem Jest to również przestrzeń Banacha. Gdy jest ciałem skalarów, to oznacza się tę przestrzeń krótko przez bądź nawet gdy jest zbiorem liczb naturalnych.
Przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią funkcji ciągłych na tj. na uzwarceniu Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną.
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie i ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni jest jednak domknięta:
Przestrzeń c00 Niech
tzn. jest takim ciągiem, który na -tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem oznacza się zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych ciągów Innymi słowy elementami przestrzeni są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera.