W bardziej abstrakcyjnym języku teorii operatorów hipoteza mówi, że domknięcie zakresu numerycznego operatora powinno być 2-spektralnym zbiorem dla tego operatora. Jeżeli jest zwartym zbiorem zawierającym widmo operatora to nazywa się -spektralnym zbiorem dla gdy
dla odpowiedniej klasy funkcji wymiernych lub holomorficznych .
Znaczenie Hipoteza jest analogiem nierówności von Neumanna, lecz zamiast dysku jednostkowego dla kontrakcji wykorzystuje zakres numeryczny operatora. Jej treścią jest to, że geometria zbioru powinna kontrolować normę z uniwersalną stałą niezależną od wymiaru macierzy, od samej macierzy i od wielomianu.
Stałej nie można w ogólności zastąpić mniejszą stałą. Przykładem jest macierz
i wielomian Wtedy jest domkniętym dyskiem jednostkowym, natomiast .
Dla macierzy normalnych hipoteza jest natychmiastowa nawet ze stałą Jeżeli jest normalna, to z twierdzenia spektralnego
ponieważ widmo jest zawarte w zakresie numerycznym.
Historia i znane oszacowania W pracy z 2004 roku Crouzeix sformułował hipotezę oraz badał najlepsze stałe w nierównościach dla funkcji analitycznych od macierzy, w szczególności w przypadkach dwuwymiarowych.
W 2007 roku Crouzeix udowodnił, że istnieje uniwersalna stała niezależna od wymiaru i że można przyjąć
dla operatorów na przestrzeni Hilberta i funkcji odpowiedniej klasy.