Hipoteza Crouzeixa – nierozwiązana hipoteza z teorii macierzy i analizy funkcjonalnej, dotycząca oszacowań norm funkcji holomorficznych od macierzy przez ich maksimum na zakresie numerycznym macierzy. Została sformułowana przez francuskiego matematyka Michela Crouzeixa w pracy z 2004 roku.

W podstawowej postaci hipoteza głosi, że dla każdej zespolonej macierzy kwadratowej i każdego wielomianu zespolonego zachodzi nierówność

gdzie oznacza normę operatorową, czyli w przypadku macierzy normę spektralną, a jest zakresem numerycznym macierzy zdefiniowanym jako

Hipoteza jest często formułowana równoważnie dla funkcji holomorficznych w otoczeniu zakresu numerycznego. W przypadku skończeniewymiarowym wynika to z faktu, że zakres numeryczny macierzy jest zwartym wypukłym podzbiorem płaszczyzny zespolonej i można stosować aproksymację wielomianową.

Sformułowanie Niech Zakres numeryczny macierzy jest zbiorem

Dla wielomianu oznacza się

Hipoteza Crouzeixa mówi, że

dla wszystkich wszystkich macierzy i wszystkich wielomianów .

W bardziej abstrakcyjnym języku teorii operatorów hipoteza mówi, że domknięcie zakresu numerycznego operatora powinno być 2-spektralnym zbiorem dla tego operatora. Jeżeli jest zwartym zbiorem zawierającym widmo operatora to nazywa się -spektralnym zbiorem dla gdy

dla odpowiedniej klasy funkcji wymiernych lub holomorficznych .

Znaczenie Hipoteza jest analogiem nierówności von Neumanna, lecz zamiast dysku jednostkowego dla kontrakcji wykorzystuje zakres numeryczny operatora. Jej treścią jest to, że geometria zbioru powinna kontrolować normę z uniwersalną stałą niezależną od wymiaru macierzy, od samej macierzy i od wielomianu.

Stałej nie można w ogólności zastąpić mniejszą stałą. Przykładem jest macierz

i wielomian Wtedy jest domkniętym dyskiem jednostkowym, natomiast .

Dla macierzy normalnych hipoteza jest natychmiastowa nawet ze stałą Jeżeli jest normalna, to z twierdzenia spektralnego

ponieważ widmo jest zawarte w zakresie numerycznym.

Historia i znane oszacowania W pracy z 2004 roku Crouzeix sformułował hipotezę oraz badał najlepsze stałe w nierównościach dla funkcji analitycznych od macierzy, w szczególności w przypadkach dwuwymiarowych.

W 2007 roku Crouzeix udowodnił, że istnieje uniwersalna stała niezależna od wymiaru i że można przyjąć

dla operatorów na przestrzeni Hilberta i funkcji odpowiedniej klasy.

W 2017 roku Michel Crouzeix i César Palencia udowodnili znacznie mocniejsze oszacowanie

Wynik ten mówi, że zakres numeryczny jest, w istocie w wersji całkowicie ograniczonej, -spektralnym zbiorem dla operatora.

Thomas Ransford i Felix L. Schwenninger podali w 2018 roku krótkie ujęcie jednego z głównych lematów użytych w dowodzie Crouzeixa i Palencii oraz wykazali ostrość stałej w abstrakcyjnym lemacie funkcjonalno-analitycznym występującym w tym dowodzie. Nie rozstrzyga to jednak samej hipotezy Crouzeixa, ponieważ ostrość dotyczy lematu pomocniczego, a nie pierwotnego problemu dla zakresu numerycznego.

W nowszych pracach uzyskano dalsze poprawy w bardziej szczególnych sytuacjach. Malman, Mashreghi, O’Loughlin i Ransford pokazali, że dla każdego ustalonego wymiaru istnieje stała która działa dla wszystkich macierzy . Ci sami autorzy powiązali oszacowania typu Crouzeixa ze stałymi konfiguracyjnymi dla operatora Neumanna–Poincarégo i uzyskali poprawy zależne od geometrii obszaru zawierającego zakres numeryczny.

Iloraz Crouzeixa W badaniu hipotezy używa się często wielkości nazywanej ilorazem lub stałą Crouzeixa macierzy. Dla macierzy definiuje się

W tej notacji hipoteza Crouzeixa jest równoważna stwierdzeniu, że

dla każdej zespolonej macierzy kwadratowej .

Iloraz Crouzeixa jest niezmienniczy względem podobieństwa unitarnego oraz względem afinicznych przekształceń macierzy postaci gdzie Takie redukcje są wykorzystywane w analizie numerycznej hipotezy i w badaniu klas specjalnych.

Wersja całkowicie ograniczona Istnieje silniejsza, całkowicie ograniczona wersja hipotezy. Zamiast wielomianów skalarnych rozważa się wtedy wielomiany o wartościach macierzowych, czyli macierze wielomianów oraz operator blokowy Silna wersja przewiduje nierówność

Wynik Crouzeixa i Palencii ze stałą zachodzi również w tej całkowicie ograniczonej wersji. W niektórych znanych przypadkach szczególnych udało się udowodnić nawet całkowicie ograniczoną wersję ze stałą .

Znane przypadki szczególne Hipoteza jest znana dla wielu szczególnych klas macierzy, choć pozostaje otwarta w pełnej ogólności.

Do podstawowych przypadków należą:

macierze normalne, dla których nierówność zachodzi ze stałą co wynika bezpośrednio z twierdzenia spektralnego; macierze oraz, szerzej, pewne przypadki macierzy o wielomianie minimalnym małego stopnia; macierze, których zakres numeryczny jest dyskiem; pewne zaburzone bloki Jordana badane przez Greenbaum i Choi; klasy macierzy cyklicznych i ważonych przesunięć badane przez Choia; macierze nilpotentne ; trójdiagonalne macierze o eliptycznym zakresie numerycznym, którego środek jest wartością własną macierzy; kontrakcje o wartościach własnych dostatecznie dobrze rozdzielonych w metryce pseudohiperbolicznej.

W pracy O’Loughlina i Virtanena z 2024 roku skonstruowano kolejne klasy macierzy spełniających hipotezę, a także wskazano związek między hipotezą Crouzeixa a pewnymi operatorami różniczkowania na klasach funkcji analitycznych. Badane są także osłabione wersje hipotezy dla kompresji przesunięcia i związanych z nimi macierzy nilpotentnych.

Związki z analizą numeryczną Hipoteza Crouzeixa jest istotna nie tylko w teorii operatorów, lecz także w analizie numerycznej. Daje ona potencjalnie uniwersalne oszacowania norm funkcji od macierzy nienormalnych, dla których samo widmo nie kontroluje dobrze zachowania lub .

Jednym z obszarów zastosowań są metody Kryłowa i analiza zbieżności algorytmu GMRES, w której naturalnie pojawiają się wielomiany macierzowe i zakres numeryczny macierzy. Numeryczne badania Greenbaum i Overtona, oparte między innymi na optymalizacji niesmooth i obliczeniach z użyciem Chebfuna, dostarczyły silnego wsparcia eksperymentalnego dla hipotezy oraz doprowadziły do dodatkowych pytań o punkty ekstremalne ilorazu Crouzeixa.

Zobacz też zakres numeryczny norma operatorowa nierówność von Neumanna macierz normalna GMRES rachunek funkcyjny

Przypisy

Linki zewnętrzne Strona warsztatu AIM poświęconego hipotezie Crouzeixa Przykład Chebfuna dotyczący hipotezy Crouzeixa Strona Michaela L. Overtona o hipotezie Crouzeixa i tematach pokrewnych

Kategoria:Hipotezy matematyczne Kategoria:Analiza funkcjonalna Kategoria:Metody numeryczne