Średnia geometryczna Dla dowolnego nierówność między średnią rzędu i średnią geometryczną możemy przekształcić w następujący sposób:
(pierwsza nierówność jest prawdziwa dla druga w przeciwnym wypadku)
podnosimy obustronnie do potęgi
i w obu przypadkach otrzymujemy nierówność między ważoną średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu którą możemy udowodnić przy użyciu nierówności Jensena, korzystając z wklęsłości funkcji logarytmicznej:
Po złożeniu obu stron nierówności z (rosnącą) funkcją wykładniczą uzyskuje się żądaną nierówność:
Stąd dla dowolnego dodatniego zachodzi:
tym samym udowodniliśmy nierówność między dowolną średnią potęgową a średnią geometryczną.
Średnia geometryczna jako granica Możemy ponadto udowodnić, że średnia geometryczna jest granicą średnich potęgowych dla rzędu dążącego do zera. W pierwszej kolejności udowodnimy granicę:
Granice licznika i mianownika są, odpowiednio, równe 0, więc z reguły de l’Hospitala wynika, iż:
Następnie korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:
co kończy dowód.
Nierówność między dowolnymi średnimi potęgowymi Chcemy udowodnić, że dla dowolnych zachodzi:
w przypadku kiedy jest ujemne, a dodatnie, nierówność jest równoważna nierówności udowodnionej wcześniej:
Udowodnijmy zatem nierówność dla dodatnich i