Weźmy funkcję Oczywiście jest rosnąca, bo / jest dodatnie. Jest to funkcja potęgowa, ma zatem drugą pochodną: która jest zawsze dodatnia, bo > z czego wynika wypukłość
Z nierówności Jensena uzyskujemy wobec tego:
po wyciągnięciu obustronnie pierwiastka -tego stopnia (funkcja rosnąca, bo > 0) uzyskujemy żądaną nierówność dla dodatnich i
Jeśli rozważamy rzędy ujemne, wówczas więc można podstawiając bez straty ogólności uzyskać:
Podnosimy obustronnie do potęgi -1 (funkcja malejąca):
A zatem dowiedliśmy nierówności także dla ujemnych i co kończy dowód.
Minimum i maksimum Minimum i maksimum przyjmuje się za średnie potęgowe rzędów Wynika to z faktu, że są to odpowiednie granice średnich potęgowych, dowód jest następujący:
Niech będzie największym, a najmniejszym z Na początek korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach udowodnimy granicę:
Wystarczy zauważyć nierówności dla dodatnich
Następnie korzystając z udowodnionej granicy:
Stąd korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:
Analogicznie dla ujemnych
bo (wciąż dla ):
Stąd:
I w końcu analogicznie:
Zobacz też nierówność Muirheada
Linki zewnętrzne Power Mean Inequality (QAGH) , brilliant.org [dostęp 2025-06-14].
między średnimi potęgowymi Kategoria:Średnie