Twierdzenie Baire’a – twierdzenie w topologii; mówiące, że przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych w przestrzeni zupełnej jest zbiorem brzegowym.

Twierdzenie to zostało nazwane na cześć francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a (1874–1932).

Twierdzenie

Niech będzie zupełną przestrzenią topologiczną. Niech ponadto będzie przeliczalną rodziną domkniętych zbiorów nigdziegęstych. Niech też oznacza sumę mnogościową tych zbiorów; tzn. niech:

Wówczas jest zbiorem brzegowym.

Uwaga. Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych, jest sam: zbiorem gęstym.

Uwaga. Równoważnie: W przestrzeni zupełnej , każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód twierdzenia

Niech będzie zbiorem I kategorii, czyli , gdzie jest nigdziegęsty, dla dowolnego .

Pokażemy, że jest brzegowy, czyli

Niech będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że: .

Skoro jest nigdziegęsty, to istnieje kula że Możemy przyjąć, że jest kulą domkniętą oraz (gdzie oznacza tak zwaną średnicę zbioru).

Następnie, w kuli znajdziemy kulę domkniętą , że (jednocześnie):

, .

Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych , taki że dla dowolnego , mamy:

, , .

Z twierdzenia Cantora, mamy:

Zatem:

oraz

więc .