Twierdzenie Baire’a – twierdzenie w topologii; mówiące, że przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych w przestrzeni zupełnej jest zbiorem brzegowym.
Twierdzenie to zostało nazwane na cześć francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a (1874–1932).
Twierdzenie
Niech będzie zupełną przestrzenią topologiczną. Niech ponadto będzie przeliczalną rodziną domkniętych zbiorów nigdziegęstych. Niech też oznacza sumę mnogościową tych zbiorów; tzn. niech:
Wówczas jest zbiorem brzegowym.
Uwaga. Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych, jest sam: zbiorem gęstym.
Uwaga. Równoważnie: W przestrzeni zupełnej , każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.
Dowód twierdzenia
Niech będzie zbiorem I kategorii, czyli , gdzie jest nigdziegęsty, dla dowolnego .
Pokażemy, że jest brzegowy, czyli
Niech będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że: .
Skoro jest nigdziegęsty, to istnieje kula że Możemy przyjąć, że jest kulą domkniętą oraz (gdzie oznacza tak zwaną średnicę zbioru).
Następnie, w kuli znajdziemy kulę domkniętą , że (jednocześnie):
, .
Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych , taki że dla dowolnego , mamy:
, , .
Z twierdzenia Cantora, mamy:
Zatem:
oraz
więc .
Zastosowania Twierdzenie Baire’a ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, jak: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenie o wykresie domkniętym, twierdzenie Banacha-Steinhausa.
Z twierdzenia Baire’a wynika także fakt, że każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
Twierdzenie o istnieniu funkcji ciągłych, nieróżniczkowalnych Stefan Banach użył twierdzenia Baire’a do dowodu faktu istnienia funkcji ciągłych na odcinku , które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedzinyS. Banach, Über die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 3 (1931), s. 174–179..
Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest tak zwanym zbiorem I (pierwszej) kategorii. Intuicyjnie moglibyśmy powiedzieć, że bycie przez niego takim oto właśnie zbiorem, oznacza, że jest on topologicznie (w sensie topologicznym): mały.
Dowód Stefana Banacha
Niech oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku z normą supremum.
Ponadto, niech dla wszelkich liczb naturalnych , dany będzie zbiór (którego dokładna definicja w przypadku każdego , jest uzależniona od konkretnej wartości ):
Tak określone zbiory ( jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech będzie ciągiem funkcji ze zbioru zbieżnym do pewnej funkcji Niech będzie takim punktem, dla którego funkcja spełnia warunek w definicji zbioru ; oraz niech jeszcze będzie punktem skupienia ciągu (możemy mieć pewność, że taki punkt istnieje; co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka ). Wówczas funkcja graniczna spełnia warunek określający zbiory (przy różnych ) w punkcie tj. co dowodzi domkniętości zbiorów .
Niech będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresami są łamane). Zbiór ten jest gęsty w Ponadto każdą funkcję ze zbioru można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru Wynika stąd, iż
co w szczególności implikuje, że każdy ze zbiorów ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory są brzegowe.
Każdy ze zbiorów jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire’a wynika, że
Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru a zatem zbiór funkcji ciągłych na , które mają pochodną w choć jednym punkcie, jest zbiorem pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku bez pochodnych w żadnym punkcie.
Zobacz też przestrzeń Baire’a twierdzenie Banacha-Steinhausa własność Baire’a zbiór nigdziegęsty zbiór pierwszej kategorii
Przypisy
Linki zewnętrzne Baire theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Baire’a