Dowód Dowód składa się z pięciu części. Wykorzystuje on standardowe techniki, szeroko stosowane w teorii miary. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż jest algebrą, zaś jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż jest miarą zewnętrzną – że rodzina jest zamknięta ze względu na sumy przeliczalnie wielu zbiorów, a jest σ-addytywna, tzn. jest σ-algebrą, a określoną na niej miarą. W ostatnim kroku dowodzi się zupełności miary
Algebra Należenie zbioru pustego Zbiór pusty spełnia warunek Carathéodory’ego, ponieważ z założenia oraz
dla każdego zawartego w
Zamkniętość ze względu na dopełnienia Warunek Carathéodory’ego jest niezmienniczy względem brania dopełnienia, tzn. jeśli spełnia warunek Carathéodory’ego, to spełnia go również
Zamkniętość ze względu na sumy skończone right Niech oraz należą do oraz będzie dowolnym podzbiorem Zachodzą równości
oraz
Z tożsamości oraz oraz założenia, że spełnia warunek Carathéodory’ego wynika, iż
skąd
Dowodzi to, że spełnia warunek Carathéodory’ego, a zatem należy do
Addytywność zawężenia Dla danych zbiorów rozłącznych i należących do zachodzi równość
Pokazuje to, że zawężenie do rodziny jest addytywną funkcją zbiorów.
σ-algebra Niżej zakłada się, że jest miarą zewnętrzną.