Niech będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do oraz niech będzie dowolnym podzbiorem zbioru Utwórzmy przeliczalne rodziny następująco:
oraz wprowadźmy oznaczenie
Zbiory są parami rozłączne i zachodzi oczywista równość
Dla każdego zachodzi inkluzja skąd Korzystając z monotoniczności otrzymujemy oszacowanie
Z faktu, że każdy zbiór spełnia warunek Carathéodory’ego, wnioskujemy, że dla prawdziwa jest tożsamość
Na mocy zasady indukcji matematycznej, równość
zachodzi dla wszystkich Ostatecznie,
Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie
Z przeliczalnej podaddytywności wynika nierówność
Łącząc otrzymane związki i korzystając ponownie z przeliczalnej podaddytywności uzyskujemy zależność
Miara Niżej zakłada się, że jest miarą zewnętrzną.
Niech będzie przeliczalną rodziną parami rozłącznych zbiorów należących do Niech ponadto będzie sumą wszystkich zbiorów Z addytywności i monotoniczności wynika, że dla dowolnego zachodzi równość
Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie
Przeliczalna podaddytywność daje nierówność w drugą stronę.