Celem owych prac miała być w szczególności budowa systemu logicznego pozwalającego dowieść niesprzeczności podstaw matematyki.
Działania te zakończyły się częściowym jedynie sukcesem, gdyż Russell osiągnął je poprzez usunięcie tych pojęć z języka matematyki, które uznał za niepoprawnie sformułowane. Podobny cel miały też prace nad językiem i metajęzykiem Tarskiego – te jednak odnosiły się do logiki a nie do matematyki, i rozwiązały problem prawdziwości antynomii logicznych, jak np. paradoks kłamcy.
Pozytywiści jednak nadal poszukiwali innych możliwości budowy wiedzy w ramach systemów formalnych. Ostateczny cios tym działaniom zadały prace Kurta Gödla, a zwłaszcza jego twierdzenie o niezupełności systemów aksjomatycznych zawierających arytmetykę liczb naturalnych. W ramach tych prac Gödel dowiódł, że każdy wystarczająco złożony system aksjomatyczny pierwszego rzędu musi zawierać zdania niemożliwe do dowiedzenia, o ile jest niesprzeczny. Oznacza to, że niemożliwe jest przedstawienie zespołu wiedzy matematycznej w zamkniętej formie, w postaci zamkniętego systemu formalnego, jak chcieli tego przedstawiciele prądów pozytywistycznych. Wiedza dedukcyjna, matematyczna, będzie mieć zatem zawsze dynamiczny i otwarty charakter.