Każdy ciąg nieskończony {cn} startujący od pewnej liczby naturalnej dodatniej ma następującą własność: ciąg {cn} jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy wpada w pewien cykl.
Rzeczywiście, jeśli ciąg wpada w jakiś cykl, to jest tylko skończona liczba początkowych wyrazów niewchodzących do tego cyklu. Odwrotnie, jeśli ciąg jest ograniczony, to nieskończona liczba wyrazów ciągu osiąga jedynie skończoną liczbę wartości, co oznacza, że niektóre wyrazy muszą się powtarzać. A ponieważ w ciągu {cn} każdy wyraz zależy jedynie od swojego bezpośredniego poprzednika, więc wyrazy powtarzające się wyznaczają początek i koniec pewnego cyklu.
Ponadto jeśli ciąg {cn} jest nieograniczony, to jest rozbieżny do nieskończoności.
Rzeczywiście, przypuśćmy, że ciąg nie jest rozbieżny do nieskończoności. Stąd dla pewnej liczby naturalnej istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu {cn} mniejszych od co oznacza, że pewne dwa z nich mają te same wartości, tym samym wyznaczają one pewien cykl. Stąd z kolei wynika, że ciąg jest ograniczony, wbrew założeniu.