Z tego twierdzenia wynika, że gdy wielomian dodatniego stopnia ma zerową pochodną, to każdy jego pierwiastek jest wielokrotny, bo jest pierwiastkiem wielomianu zerowego (nawet każdy element każdego rozszerzenia ciała jest pierwiastkiem wielomianu zerowego, z definicji pierwiastka, lecz nie ma on żadnej krotności w wielomianie zerowym)., i stąd postać drugiej części definicji.
Jeżeli stopień wielomianu nie jest wielokrotnością charakterystyki ciała (na przykład gdy ), to a wyrażenie przyjmuje postać a jeżeli jest wielokrotnością i to
W pierwszym przypadku rugownik jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia
Gdy oznaczymy przez zbiór wszystkich wielomianów stopnia większego od 0, to wyróżnik jest funkcją a jej wartość na określonym wielomianie nazywa się wyróżnikiem tego wielomianu.
Oznaczmy powyższą macierz przez Ma ona zawsze stopień (niezależnie od tego czy ) i zachodzi związek więc ogólny wzór definiujący wyróżnik może być zapisany w zgrabnej postaci, obejmującej przypadek zerowej pochodnej
Ponieważ (przy ustalonym n) do tego wzoru wchodzą jedynie współczynniki wielomianu, to naturalne jest zdefiniowanie bardziej bezpośrednich funkcji określonych tym samym wzorem co wyróżnik. dla