W macierzy najwyższy współczynnik jest mnożnikiem pierwszej kolumny, więc można go wyciągnąć przed wyznacznik i uprościć z mianownikiem, skąd wynika, że funkcja jest wielomianem zmiennych.
Niech będzie zbiorem wielomianów stopnia dla zaś funkcją przyporządkowującą wielomianowi jego współczynniki Ponieważ wielomian jednoznacznie wyznacza swoje współczynniki i na odwrót, to jest injekcją. Wobec oczywistej równości
funkcję również nazywa się wyróżnikiem (wielomianu stopnia n).
Możliwość wyrażenia wyróżnika przez wyznacznik macierzy o zawsze tej samej postaci, jak w ostatnim wzorze na oznacza, że ten wielomian ma charakter uniwersalny. Stosuje się w każdym przypadku niezależnie od ciała, charakterystyki ciała, czy stopnia pochodnej choć w pewnych przypadkach ogólne wyrażenie może się upraszczać.
W „matematyce szkolnej” (i nie tylko) stosuje się skrócony zapis, w którym litera bez indeksu oznacza wartość funkcji (lub ) na współczynnikach wielomianu, co ma uzasadnienie nie przeciążaniem notacji.
Zależność od pierwiastków wielomianu Wielomian stopnia ma dokładnie pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności (być może w ciele szerszym niż ).
Ponumerujmy te pierwiastki w dowolny sposób: a wtedy