Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy
Oznaczenia i definicje pomocnicze Oznaczmy przez macierz jednostkową stopnia Definiujemy macierze stopnia dla i Gdy oznaczymy współrzędne macierzy przez to dla zaś pozostałe współrzędne są zerami.
Przykłady
Wszystkie macierze są symetryczne.
W tym podrozdziale wielomiany stopnia będziemy zapisywali w postaci gdzie
Definiujemy macierze zależne od współczynników wielomianu stopnia dla
Przykłady
Definicja rekursyjna Macierze których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia zdefiniowane są rekursyjnie. Niech Jeżeli już określona jest macierz to gdzie
a jest macierzą stopnia jak wyżej.
Macierz (i podobnie ) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.
Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze są symetryczne.
Dowód: Dla jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy wynika, że jest symetryczna, czyli
Sprawdźmy, że macierz jest symetryczna.
Macierz jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych z pewnymi współczynnikami.