Kardynał był organizatorem dwóch spotkań młodych w Rzymie 1984 i 1985 oraz kolejnych Światowych Dni Młodzieży: na placu św. Piotra w Watykanie 1986, w Buenos Aires w Argentynie 1987, w Santiago de Compostela w Hiszpanii 1989, w Częstochowie 1991, w Denver w USA 1993 i w Manilli na Filipinach 1995. 11 lipca 1995 Jan Paweł II włączył go do grona kardynałów-biskupów. Z urzędu ustąpił 20 sierpnia 1996 ze względu na stan zdrowia i podeszły wiek.
Zmarł w Rzymie 5 lutego 1998, został pochowany w bazylice Matki Bożej w Luján, w której 55 lat wcześniej przyjął święcenia kapłańskie.
23 czerwca 2006 w Rzymie rozpoczął się jego proces beatyfikacyjny na poziomie diecezjalnym zaś w Bienos Aires 22 lutego 2007. 18 lutego 2022 papież Franciszek podpisał dekret o heroiczność cnót i odtąd przysługuje mu tytuł Czcigodnego Sługi Bożego, zaś 8 listopada 2023 podpisał dekret uznający cud za wstawiennictwem argentyńskiego kardynała, co otwiera drogę do jego beatyfikacji.