Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o strukturze bardziej skomplikowanej niż przedziały na prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się w teorii prawdopodobieństwa i w różnych działach analizy matematycznej.
Definicja miary. Miara zbioru Niech dany będzie zbiór nadrzędny , zwany przestrzenią. Niech oznacza wybrane σ-ciało podzbiorów zbioru (jedno z wielu możliwych).
Def. Miarą nazywamy funkcję ze zbioru na zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych taką że:
(1) przypisuje zbiorowi pustemu wartość 0, tj.
(2) jest przeliczalnie addytywną funkcją zbioru, tj. dla każdego ciągu zbiorów parami rozłącznych należących do σ-ciała , , miara sumy zbiorów jest równa sumie ich miar, tj.
Uwaga: Założenie jest równoważne warunkowi nieujemności miary wszystkich zbiorów σ-ciała tj. dla każdego .
Def. Miarą zbioru nazywa się liczbę .
Def. Zbiorem miary zero nazywa się zbiór taki że .
Zbiory mierzalne. Przestrzeń mierzalna Def. Zbiory należące do σ-ciała , na którym określona jest miara , nazywa się zbiorami -mierzalnymi względem albo po prostu mierzalnymi.