Uwaga: Miara określona jest na zbiorach należących do σ-ciała a nie na dowolnych podzbiorach przestrzeni – w ten sposób unika się problemu z miarą na zbiorach niemierzalnych w jak np. zbiór Vitalego, lub też celowo ogranicza się rozważania do ustalonego σ-ciała.
Wybór σ-ciała dla danej przestrzeni tworzy więc unikalną konstrukcję, która nazywa się przestrzenią mierzalną, a wybór konkretnej miary spośród wielu możliwych tworzy tzw. przestrzeń z miarą.
Def. Parę nazywamy przestrzenią mierzalną.
Def. Trójkę nazywamy przestrzenią z miarą.
Miara probabilistyczna Def. Miarą probabilistyczną nazywamy miarę, która przypisuje wartość 1 całej przestrzeni, tj. .
Twierdzenia
Tw. 1 (własności miary) Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech jest ciągiem zbiorów w Miara ma następujące własności:
Skończona addytywność: jeżeli dla , to skończona suma zbiorów ma miarę równą sumie miar poszczególnych zbiorów
Uwaga: Skończona addytywność jest szczególnym przypadkiem addytywności przeliczalnej, którą z założenia ma każda miara. Monotoniczność: jeżeli oraz to
Miara różnicy zbioru i jego podzbioru: jeżeli oraz to
Podaddytywność:
Uwaga: Równość w powyższym wzorze zachodzi, gdy zbiory są parami rozłączne. Ciągłość z dołu: jeśli dla to