Dowód Bez straty ogólności można przyjąć, że A = κ, tj. w szczególności, rodzina ℬ składa się ze skończonych podzbiorów liczby kardynalnej κ (rozpatrywanej jako początkowa liczba porządkowa). Ponieważ κ ma nieprzeliczalną kofinalność, istnieje taka liczba naturalna n, że rodzina ℬ1 := ℬ ∩ [κ]n jest mocy κ, przy czym symbol [κ]n oznacza rodzinę wszystkich n-elementowych podzbiorów κ. Wystarczy więc udowodnić następujące stwierdzenie: Niech κ będzie nieskończoną regularną liczbą kardynalną. Wówczas dla każdej liczby naturalnej n oraz każdej rodziny ℬ ⊆ [κ]n mocy κ istnieje taka podrodzina ℬ0 ⊆ ℬ również mocy κ oraz taka liczba porządkowa δ < κ, że dla dowolnych zbiorów A, B ∈ ℬ0, A ≠ B spełniony jest warunek A ∩ δ = A ∩ B = B ∩ δ. Istotnie, w takim przypadku wystarczy przyjąć Δ = A ∩ δ, gdzie A jest dowolnym elementem rodziny ℬ. Dowód można przeprowadzić indukcyjnie ze względu na n. Gdy n = 1, wystarczy wziąć ℬ0 = ℬ oraz δ = 0 (korzeń rodziny ℬ0 jest pusty). Załóżmy, że stwierdzenie to jest prawdziwe dla pewnego n ≥ 1 i ustalmy ℬ ⊆ [κ]n + 1. Jeżeli istnieje takie τ < κ, że rodzina ℬκ = { A ∈ ℬ: min A = τ } jest mocy κ, to z założenia indukcyjnego istnieje taka rodzina ℬ'0 ⊆ { A \ {τ}: A ∈ ℬ'κ } oraz liczba porządkowa δτ < κ, że A ∩ δτ = A ∩ B = B ∩ δτ dla wszelkich A, B ∈ ℬ0, A ≠ B.