Wystarczy więc przyjąć ℬ0 = {A ∪ {τ}: A ∈ ℬκ} oraz δ = max{δτ, τ}. Gdyby taka rodzina nie istniała, tj. |{ A ∈ ℬ: min A = τ }| < κ dla każdej liczby τ < κ, to można wówczas zbudować rekursywnie funkcję f: κ → ℬ o tej własności, że ∪ f[α] ⊆ min f(α) dla każdego α < κ. Wystarczy wówczas rozważyć ℬ0 := f[κ] oraz δ = 0. Konstrukcja przykładowej funkcji f o powyższych własnościach. Z założenia, dla każdego τ < κ rodzina ℛτ := { A ∈ ℬ: min A = τ } jest mocy (ściśle) mniejszej od κ. Pozwala to zdefiniować rekurencyjnie funkcję g: κ → κ warunkiem: g(α) = min [{ τ < κ: ℛτ ≠ ∅ } \ sup ∪ ∪ { ℛσ: σ < sup g[α] }]. dla α < κ. Funkcję f można zdefiniować wybierając za f(α) dowolny element rodziny ℛg(α).
Dowód w oparciu o lemat Fodora Niech ℬ = {Fα: α < κ} będzie rodziną skończonych podzbiorów κ. Podobnie jak powyższym dowodzie, bez straty ogólności można założyć, że każdy zbiór Fα ma dokładnie n elementów dla pewnego n ≥ 1. Gdy n = 1, twierdzenie zachodzi (korzeń Δ jest pusty). Ustalmy ℬ ⊆ [κ]n + 1 mocy κ i załóżmy indukcyjnie, że twierdzenie to zachodzi dla n ≥ 1. Niech f: κ → κ ∪ {∞} będzie funkcją określoną w następujący sposób: f(α) = min Fα ∩ [0, α), gdy zbiór Fα ∩ [0, α) jest niepusty oraz f(α) = ∞ w przeciwnym przypadku.