Uwagi W przypadku, gdy zbiór jest również zwarty, twierdzenie Minkowskiego zachodzi pod słabszym założeniem:
jednak w ogólności, założenia tego nie można pominąć. Istotnie, niech będzie kwadratem bez brzegu na płaszczyźnie o wierzchołkach Wówczas pole powierzchni (objętość 2-wymiarowa) zbioru wynosi jednak nie zawiera punktów kratowych innych niż . Objętość -wymiarowa wynosi tj. równa jest wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy, której kolumnami są wektory
Dowód Najpierw wykażemy, że wśród zbiorów postaci
pewne dwa mają niepustą część wspólną.
W tym celu przypuśćmy, że jest przeciwnie tj. że są ona parami rozłączne. Wówczas również zbiory
byłyby parami rozłączne, a więc z σ-addytywności miary zachodziłaby nierówność
Mamy jednak
a więc
Rodzina
jest pokryciem całej przestrzeni a więc w szczególności zbioru Ostatecznie,
co prowadzi do sprzeczności z założeniem twierdzenia.
Stąd dla pewnych dwóch różnych punktów zbiory
mają niepusty przekrój i niech
To oznacza, że
dla pewnych Odejmując stronami, dostaniemy