Les coordenaes polares o sistema de coordenaes polares son un sistema de coordenaes bidimensional nel que cada puntu del planu determinar por una distancia y un ángulu. Esti sistema ye llargamente utilizáu en física y trigonometría.
De manera más precisa, como sistema de referencia tómase: (a) un puntu O del planu, al que se llama orixe o polu; y (b) una recta empobinada (o rayu, o segmentu OL) que pasa por O, llamada exa polar (equivalente a la exa x del sistema cartesianu). Con esti sistema de referencia y una unidá de midida métrica (pa poder asignar distancies ente cada par de puntos del planu), tou puntu P del planu correspuende a un par ordenáu (r, θ) onde r ye la distancia de P al orixe y θ ye l'ángulu formáu ente la exa polar y la recta empobinada OP que va de O a P. El valor θ crez en sentíu antihorario y escai en sentíu horariu. La distancia r (r ≥ 0) conozse como la coordenada radial» o «radiu vector», ente que l'ángulu ye la «coordenada angular» o «ángulu polar».
Nel casu del orixe, O, el valor de r ye cero, pero'l valor de θ ye indefiníu. N'ocasiones adopta la convención de representar l'orixe por (0,0º).
Historia thumb|Sistema de coordenaes polares con dellos ángulos midíos en graos. Magar esisten testimonios de que los conceutos d'ángulu y radiu conócense y remanen dende l'antigüedá, nun ye sinón hasta'l sieglu XVII, posterior a la invención de la xeometría analítica, cuando puede falase del conceutu formal de sistema coordenaes polares.
Los primeros usos empíricos de rellaciones ente ángulos y distancies rellacionar con aplicaciones al navegación y l'estudiu de la bóveda celeste. L'astrónomu Hiparco (190 e.C. -120 e.C. ) creó una tabla trigonométrica que daba'l llargor d'una cuerda en función del ángulu. Tamién esisten referencies del usu de coordenaes polares pa establecer la posición de les estrelles. Nel tratáu Sobre les espirales, Arquímedes describe la llamada espiral de Arquímedes, una función que'l so radiu depende del ángulu. Sicasí, estes aplicaciones nun faíen usu d'un sistema de coordenaes como mediu d'alcontrar puntos nel planu, situación análoga al estáu de la xeometría antes de la invención de la xeometría analítica.
En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introducieron de forma independiente'l conceutu de coordenada polar a mediaos del sieglu XVII na solución de problemes xeométricos. Saint-Vincent escribió sobre esta tema en 1625 y publicó los sos trabayos en 1647, ente que Cavalieri publicó los sos escritos en 1635 y una versión correxida en 1653. Cavalieri utilizó en primer llugar les coordenaes polares pa resolver un problema rellacionáu cola área dientro d'una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó darréu les coordenaes polares pa calcular el llargor d'arcos parabólicos.
Sicasí, el conceutu astractu de sistema de coordenada polar deber a sir Isaac Newton, quien nel so Métodu de les flusiones escritu en 1671 y publicáu en 1736, introduz ocho nuevos sistemes de coordenaes (amás de les cartesianes) pa resolver problemes relativos a tanxentes y curves, unu de los cualos, el séptimu, ye'l de coordenaes polares. Nel periódicu Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un puntu nuna llinia, llamándolos polu y exa polar respeutivamente. Les coordenaes determinar por aciu la distancia al polu y l'ángulu respeuto al exa polar. El trabayu de Bernoulli sirvió de base p'atopar el radiu de combadura de ciertes curves espresaes nesti sistema de coordenaes.
El términu actual de coordenaes polares atribuyir a Gregorio Fontana, y foi utilizáu polos escritores italianos del sieglu XVIII. El términu apaez per primer vegada n'inglés na traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratáu del cálculu diferencial y del cálculu integral de Sylvestre François Lacroix, ente qu'Alexis Clairaut foi'l primeru que pensó n'ampliar les coordenaes polares a tres dimensiones.
Representación de puntos con coordenaes polares
thumb|Na figura representa un sistema de coordenaes polares nel planu, el centru de referencia (puntu O) y la llinia OL sobre la que se miden los ángulos. Pa referenciar un puntu indica la distancia al centru de coordenaes y l'ángulu sobre la exa OL.
El puntu (3, 60º) indica que ta a una distancia de 3 unidaes dende O, midíes con un ángulu de 60º sobre OL. El puntu (4, 210º) indica que ta a una distancia de 4 unidaes dende O y un ángulu de 210º sobre OL.
Un aspeutu a considerar nos sistemes de coordenaes polares ye qu'un únicu puntu del planu puede representase con un númberu infinitu de coordenaes distintes, lo cual nun asocede nel sistema de coordenaes cartesianes. Esto ye que nel sistema de coordenaes polares nun hai una correspondencia biunívoca ente los puntos del planu y el conxuntu de les coordenaes polares. Esto asocede por dos motivos:
Un puntu, definíu por un ángulu y una distancia, ye'l mesmu puntu que l'indicáu por esi mesmu ángulu más un númberu de revoluciones completes y la mesma distancia. Polo xeneral, el puntu (, θ) puede representase como (, θ ± ×360°) o (−, θ ± (2 + 1)180°), onde ye un númberu enteru cualesquier. El centru de coordenaes ta definíu por una distancia nula, independientemente de los ángulos que s'especifiquen. De normal utilícense les coordenaes arbitraries (0, θ) pa representar el polu, yá que independientemente del valor que tome l'ángulu θ, un puntu con radiu 0 atópase siempres nel polu. Estes circunstancies tienen de tenese en cuenta pa evitar tracamundios nesti sistema de coordenaes. Pa llograr una única representación d'un puntu, suelse llindar a númberos non negativos ≥ 0 y θ al intervalu [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]). Los ángulos en notación polar esprésense de normal en graos o en radianes, dependiendo del contestu. Por casu, les aplicaciones de navegación marítima utilicen les midíes en graos, ente que delles aplicaciones físiques (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculu matemáticu espresen les midíes en radianes.
Conversión de coordenaes Pasu de coordenaes polares a rectangulares y viceversa thumb||Diagrama ilustrativu de la rellación ente les coordenaes polares y les coordenaes cartesianes.
Nel planu d'exes xy con centru de coordenaes nel puntu O puede definise un sistema de coordenaes polares d'un puntu M del planu, definíes pola distancia r al centru de coordenaes, y l'ángulu del vector de posición sobre la exa x.
Conversión de coordenaes polares a rectangulares Definíu un puntu en coordenaes polares pol so ángulu sobre la exa x, y la so distancia r al centru de coordenaes, tiense:
Conversión de coordenaes rectangulares a polares
Definíu un puntu del planu poles sos coordenaes rectangulares (x,y), tiense que la coordenada polar r ye:
(aplicando'l Teorema de Pitágoras)
Pa determinar la coordenada angular θ, tienen d'estremase dos casos:
Pa = 0, l'ángulu θ puede tomar cualesquier valor real. Pa ≠ 0, pa llograr un únicu valor de θ, tien de llindase a un intervalu de tamañu 2π. Por convención, los intervalos utilizaos son [0, 2π) y (−π, π].
Pa llograr θ nel intervalu [0, 2π), tienen d'usase les siguientes fórmules ( denota la inversa de la función tanxente):
Pa llograr nel intervalu , considérase que ye una función creciente nel so dominiu:
Munchos llinguaxes de programación modernos eviten tener qu'almacenar el signu del numberador y del denominador gracies a la implementación de la función arreyen2, que tien argumentos separaos pal numberador y el denominador. Nos llinguaxes que dexen argumentos opcionales, la función arreyen puede recibir como parámetru la coordenada x (como asocede en Lisp).
Ecuaciones polares Llámase-y ecuación polar a la ecuación que define una curva espresada en coordenaes polares. En munchos casos puede especificase tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste nuna serie de puntos na forma ((θ), θ) y puede representase como la gráfica d'una función .
Pueden deducise distintes formes de simetría de la ecuación d'una función polar . Si (−θ) = (θ) la curva va ser simétrica respectu a la exa horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) va ser simétrica respectu a la exa vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) va ser simétricu rotacionalmente α° en sentíu horariu respectu al polu.
Por cuenta de la naturaleza circular del sistema de coordenaes polar, munches curves pueden describise con una simple ecuación polar, ente que na so forma cartesiana sería muncho más entrevesgáu. Dalgunes de les curves más conocíes son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el cascoxu de Pascal y la cardioide.
Pa los apartaos siguientes entiéndese que'l círculu, la llinia y la rosa polar nun tienen restricciones nel dominiu y rangu de la curva.
Circunferencia thumb|Un círculu con ecuación (θ) = 1.
La ecuación xeneral pa una circunferencia con centru en (0, φ) y radiu ye
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior puede simplificase. Por casu, pa una circunferencia con centru nel polu y radiu a, llógrase:
Llinia Les llinies radiales (aquelles que traviesen el polu) representar por aciu la ecuación
onde φ ye l'ángulu d'elevación de la llinia, esto ye, φ = arctan onde ye la pendiente de la llinia nel sistema de coordenaes cartesianes. La llinia non radial que crucia la llinia radial θ = φ perpendicularmente al puntu (0, φ) tien la ecuación
Rosa polar thumb|Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 ensin 4θ.
La rosa polar ye una famosa curva matemática que paez una flor con pétalos, y puede espresase como una ecuación polar simple,
pa cualesquier constante (incluyendo al 0). Si k ye un númberu enteru, estes ecuaciones representen una rosa de k pétalos cuando k ye impar, o 2k pétalo si k ye par. Si k ye racional pero non enteru, la gráfica ye similar a una rosa pero colos pétalos asolapaos. Nótese qu'estes ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa'l llargor de los pétalos de la rosa.
Si tomamos solu valores positivos pa r y valores nel intervalu pa , la gráfica de la ecuación:
ye una rosa de k pétalos, pa cualquier númberu natural . Y si , la gráfica ye una circunferencia de radiu
Espiral de Arquímedes
thumb|Un brazu de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ pa 0 < θ < 6π.
La espiral de Arquímedes ye una famosa espiral descubierta por Arquímedes, que puede espresase tamién como una ecuación polar simple. Representar cola ecuación
Un cambéu nel parámetru a va producir un xiru na espiral, ente que b controla la distancia ente los brazos, que ye constante pa una espiral dada. La espiral de Arquímedes tien dos brazos, unu pa θ > 0 y otru pa θ < 0. Los dos brazos tán coneutaos nel polu. La imaxe especular d'un brazu sobre la exa vertical produz l'otru brazu. Esta curva foi una de les primeres curves, dempués de les seiciones cóniques, en ser descrites en trataos matemáticos. Amás ye'l principal exemplu de curva que puede representase de forma más fácil con una ecuación polar.
Otros exemplos d'espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.
Seiciones cóniques thumb|Elipse, indicándose la so semilado rectu.
Una seición cónica con un focu nel polu y l'otru en cualquier puntu de la exa horizontal (de cuenta que el semiexe mayor de la cónica fuelgue sobre la exa polar) ye dada por:
onde ye la escentricidá y ye'l semilado rectu (la distancia perpendicular a un focu dende la exa mayor a la curva). Si , esta ecuación define una hipérbola; si , define una parábola; y si , define una elipse. Pa la elipse, el casu especial resulta nun círculu de radiu .
Númberos complexos
thumb|Ilustración d'un númberu complexu z nel planu complexu. thumb|Ilustración d'un númberu complexu nel planu complexu usando la fórmula d'Euler.