Арыфме́тыка ( ад — лік) — раздзел матэматыкі, які вывучае лікі, іх адносіны і ўласцівасці. Прадметам арыфметыкі з’яўляецца паняцце ліку ў развіцці ўяўленняў аб ім (натуральныя, цэлыя і рацыянальныя, рэчаісныя, камплексныя лікі) і яго ўласцівасцях. У арыфметыцы разглядаюцца вымярэнні, вылічальныя аперацыі (складанне, адніманне, множанне, дзяленне) і прыёмы вылічэнняў. Вывучэннем уласцівасцей асобных цэлых лікаў займаецца вышэйшая арыфметыка, ці тэорыя лікаў. Тэарэтычная арыфметыка надае ўвагу азначэнню і аналізу паняцця ліку, тады як фармальная арыфметыка аперуе лагічнымі пабудовамі прэдыкатаў і аксіём. Арыфметыка — найстаражытнейшая і адна з асноўных матэматычных навук, яна цесна звязана з алгебрай, геаметрыяй і тэорыяй лікаў.
Прычынай узнікнення арыфметыкі стала практычная патрэба ў лічэнні, найпрасцейшых вымярэннях і вылічэннях. Навука развівалася разам з ростам складанасці задач, якія патрабавалі рашэння. Вялікі ўклад у развіццё арыфметыкі ўнеслі грэчаскія матэматыкі, у тым ліку філосафы-піфагарэйцы, якія спрабавалі з дапамогай лікаў спасцігнуць і апісаць усе заканамернасці свету.
У Сярэднія вякі арыфметыку адносілі, услед за неаплатонікамі, да так званых Сямі вольных мастацтваў. Асноўнымі абласцямі практычнага прымянення арыфметыкі тады былі гандаль, навігацыя, будаўніцтва. У сувязі з гэтым асаблівае значэнне атрымалі прыбліжаныя вылічэнні ірацыянальных лікаў, неабходныя ў першую чаргу для геаметрычных пабудоў. Асабліва бурна арыфметыка развівалася ў Індыі і краінах ісламу, адкуль навейшыя дасягненні матэматычнай думкі праніклі ў Заходнюю Еўропу.
З надыходам Новага часу мараходная астраномія, механіка, больш складаныя камерцыйныя разлікі паставілі новыя запросы да тэхнікі вылічэнняў і падштурхнулі да далейшага развіцця арыфметыкі. У пачатку XVII ст. Непер вынайшаў лагарыфмы, а затым Ферма выдзеліў тэорыю лікаў у самастойны раздзел арыфметыкі. К канцу стагоддзя сфарміравалася ўяўленне аб ірацыянальным ліку як аб паслядоўнасці рацыянальных прыбліжэнняў, а на працягу наступнага стагоддзя дзякуючы працам Ламберта, Эйлера, Гауса арыфметыка ўключыла ў сябе аперацыі з камплекснымі велічынямі, набыўшы сучаснае аблічча.
Наступная гісторыя арыфметыкі адзначана крытычным пераглядам яе асноў, спробамі яе дэдуктыўнага абгрунтавання. Тэарэтычныя абгрунтаванні ўяўлення аб ліку звязаныя ў першую чаргу са строгім азначэннем натуральнага ліку і аксіёмамі Пеана, сфармуляванымі ў 1889 годзе. Несупярэчлівасць фармальнай пабудовы арыфметыкі была паказана Генценам у 1936 годзе.
Асновам арыфметыкі здаўна і нязменна надаецца вялікая ўвага ў пачатковай школьнай адукацыі.
Прадмет арыфметыкі
Прадметам арыфметыкі з’яўляюцца лікавыя мноствы, уласцівасці лікаў і дзеянні над лікамі. Да яе таксама адносяць пытанні, звязаныя з тэхнікай лічэння, вымярэннямі, паходжаннем і развіццём паняцця ліку. Арыфметыка вывучае натуральныя і рацыянальныя лікі, ці дробы. На аснове аксіяматычнай структуры мноства натуральных лікаў ажыццяўляецца пабудова іншых лікавых мностваў, уключаючы цэлыя, рэчаісныя і камплексныя лікі, праводзіцца іх аналіз. Часам у рамках арыфметыкі разглядаюць таксама кватэрніёны і іншыя гіперкамплексныя лікі. Разам з тым з тэарэмы Фрабеніуса вынікае, што пашырыць паняцце ліку за граніцы камплекснай плоскасці без страты нейкіх яго арыфметычных уласцівасцей немагчыма.
Да асноўных дзеянняў над лікамі адносяць складанне, адніманне, множанне і дзяленне, радзей узвядзенне ў ступень, здабыванне кораня і рашэнне лікавых ураўненняў. Гістарычна спіс арыфметычных дзеянняў таксама ўключаў уласна лічэнне, падваенне (акрамя множання), дзяленне на два і дзяленне з астачай (акрамя дзялення), пошук сумы арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсій. Непер у сваёй кнізе «Лагістычнае мастацтва» раздзяліў арыфметычныя дзеянні па ступенях. На самай нізкай ступені знаходзяцца складанне і адніманне, на наступнай — множанне і дзяленне, далей — узвяздзенне ў ступень і здабыванне каранёў. Вядомы метадыст І. У. Арнольд да аперацый трэцяй ступені адносіў таксама лагарыфмаванне. Традыцыйна арыфметыкай называюць выкананне аперацый над рознымі аб’ектамі, як то: «арыфметыка квадратычных форм», «арыфметыка матрыц».
Уласна матэматычная разлікі і вымярэнні, неабходныя для практычных патрэб, як то: прапорцыі, працэнты, , адносяць да ніжэйшай ці практычнай арыфметыкі, тады як лагічны аналіз паняцця ліку адносяць да тэарэтычнай арыфметыкі. Уласцівасці цэлых лікаў, дзяленне іх на часткі, пабудова непарыўных дробаў уваходзяць у тэорыю лікаў, якую доўгі час лічылі вышэйшай арыфметыкай. Арыфметыка таксама цесна звязана з алгебрай, якая вывучае ўласна аперацыі без уліку асаблівасцей і ўласцівасцей лікаў. Такія арыфметычныя дзеянні, як узвядзенне ў ступень і здабыванне каранёў, з’яўляюцца тэхнічнай часткай алгебры. У гэтым ключы, услед за Ньютанам і Гаусам, алгебру прынята лічыць абагульненнем арыфметыкі. Увогуле кажучы, выразных граніц паміж арыфметыкай, элементарнай алгебрай і тэорыяй лікаў не існуе. У ВСЭ сказана: «Алгебра вывучае, карыстаючыся літарнымі абазначэннямі, агульныя ўласцівасці лікавых сістэм і агульныя метады рашэння задач пры дапамозе ўраўненняў; арыфметыка займаецца прыёмамі вылічэнняў з канкрэтна зададзенымі лікамі, а ў сваіх больш высокіх абласцях (гл. Лікаў тэорыя) — больш тонкімі індывідуальнымі ўласцівасцямі лікаў».
Як і іншыя акадэмічныя дысцыпліны, арыфметыка сутыкаецца з прынцыповымі метадалагічнымі праблемамі; для яе неабходна даследаванне пытанняў несупярэчлівасці і паўнаты аксіём. Лагічнымі пабудовамі фармальнай сістэмы прэдыкатаў і аксіём арыфметыкі займаецца фармальная арыфметыка.
Найпрасцейшыя паняцці
Парадкавае лічэнне, натуральныя лікі
Самым простым арыфметычным паняццем з’яўляецца парадкавае лічэнне. Аб’ектам лічэння служаць розныя элементы ці іх мноствы, напрыклад: яблыкі і кошыкі яблыкаў. З дапамогай парадкавага лічэння можна элементы і абазначыць іх агульную колькасць.
Парадкавае лічэнне звязана з лічэннем групамі, якія ўтрымліваюць пэўную роўную колькасць элементаў, — напрыклад, лічэнне дзясяткамі яблыкаў. Звычайна гэта пальцы на дзвюх руках (аснова роўная ), але ў гістарычных крыніцах сустракаюцца групоўкі па . Колькасць элементаў у групе служаць асновай для сістэмы злічэння.
Лікавы рад, які атрымліваецца пры лічэнні, называюць натуральным, а яго элементы — натуральнымі лікамі. Паняцце натуральнага рада ўпершыню паявілася ў працах грэчаскага матэматыка Нікамаха ў I ст. н. э., а натуральнага ліку — у рымскага аўтара Баэцыя ў канцы V — пачатку VI ст. Усеагульнае ўжыванне тэрміна пачынаецца з работ Д’Аламбера ў XVIII ст. Архімед у сваёй рабоце «Псаміт» адзначыў, што лікавы рад можна працягваць неабмежавана, але разам з тым заўважыў, што для рэальных задач дастаткова невялікага адрэзка. Дзяленне натуральных лікаў на цотныя і няцотныя прыпісваюць піфагарэйцам, яно таксама ёсць у егіпецкім папірусе Рында. Піфагарэйцы таксама вызначылі простыя і састаўныя лікі.
Складанне, множенне, узвядзенне ў ступень
Для натуральных лікаў натуральным чынам вызначаны аперацыі складання і множання. Пры аб’яднанні двух набораў, якія ўтрымліваюць некаторую колькасць прадметаў, новы набор будзе мець столькі прадметаў, колькі было ў першых двух наборах разам. Калі першы набор утрымліваў прадметы, а другі — прадметы, то іх сума будзе ўтрымліваць прадметаў. Апісанае дзеянне носіць назву складання і з’яўляецца найпрасцейшай бінарнай аперацыяй. Для праверкі карэктнасці сумы табліцу складання знаць не абавязкова, досыць пералічыць прадметы.
Шматкратнае складанне элементаў некалькіх аднолькавых мностваз не залежыць ад парадку гэтых мностваў, што дазволіла вызначыць другую бінарную аперацыю — множанне. Акрамя множання, у старажытнасці выдзялялася асобнае арыфметычнае дзеянне — падваенне, ці множанне на два.
Па аналогіі з вызначэннем множання цераз складанне, многаразовае множанне дазваляе вызначыць аперацыю ўзвядзення ў ступень.
Асноўныя законы арыфметыкі
Пра ўласцівасці гэтых аперацый сфармуляваны пяць законаў, якія лічацца асноўнымі законамі арыфметыкі: Камутатыўнасць: перамяшчальны закон складання гаворыць, што ад змены месцаў складнікаў сума не мяняецца. Аналагічны закон вядомы і для множання, але ён, канечне, гаворыць аб множніках і здабытку. Гэтыя законы можна выразіць у алгебраічнай форме з дапамогай літарных абазначэнняў:
Асацыятыўнасць: спалучальны закон складання гаворыць, што складваючы некалькі складнікаў, можна групаваць іх у любым парадку. Аналагічны закон для множання гаворыць аб перамнажэнні множнікаў. Гэтыя законы таксама можна запісаць у алгебраічнай форме:
Дыстрыбутыўнасць: размеркавальны закон кажа: каб памножыць суму на лік, можна памножыць кожны складнік на гэты лік і потым скласці атрыманыя здабыткі. У алгебраічнай форме:
Акрамя асноўных законаў арыфметыкі для натуральных лікаў выконваюцца таксама законы манатоннасці складання і множання, якія ў алгебраічнай форме запісваюцца так: пры ; пры і .
Тэрмін «камутатыўны» для перамяшчальнага закона ўвёў у 1814 годзе французскі матэматык Сервуа. Тэрмін «асацыятыўны» для спалучальнага закона ўвёў у 1853 годзе Гамільтан.
Пуанкарэ разглядаў усе арыфметычныя аперацыі і законы з погляду інтуіцыі. Сцвярджаючы, што законы відавочным чынам выконваюцца для малых лікаў, і выкарыстоўваючы правіла індукцыі, можна прыйсці да вываду, што яны выконваюцца для ўсіх лікаў. Пры іншым падыходзе інтуітыўна вернымі лічацца не ўсе, а толькі самыя простыя законы, тады як далейшы доказ звязаны з лагічнымі пабудовамі. За відавочныя прынімаліся перамяшчальны і спалучальны законы. Размеркавальны, ці дыстрыбутыўны, закон у сваіх «Пачатках» доказваў яшчэ Еўклід, карыстаючыся геаметрычным метадам.
Аперацыя ўзвядзення ў ступень ужо не камутатыўныя і не асацыятыўная, у яе свае правілы. Асноўныя правілы выканання гэтай аперацыі пры дадатных ступенях відавочным чынам вынікаюць з яе азначэння. У алгебраічнай форме іх можна запісаць наступным чынам: Дыстрыбутыўнасць: размеркавальны закон для аперацыі ўзвядзення ў ступень:
ён жа, у выпадку аднімання, набывае форму дробу:
Паўторнае ўзвядзенне ў ступень раскрываецца як перамнажэнне ступеней: .
Адваротныя аперацыі Ва ўсіх аперацый арыфметыкі ёсць адваротныя: у складання — адніманне, у множання — дзяленне, ва ўзвядзення ў ступень — арыфметычны корань і лагарыфм. Тое, што ў складання і множання па адной адваротнай аперацыі, нягледзячы на іх бінарнасць, тлумачыцца іх камутатыўнасцю.
Адніманне: адмоўныя лікі
Адніманне — гэта аперацыя, адваротная складанню: рознасцю двух лікаў і з’яўляецца невядомая з ураўнення . Абазначаецца аперацыя аднімання знакам «−» і запісваецца ў выглядзе . Для выканання аперацыі прымянялі два прыёмы: адлічванне ад памяншаемага ліку адзінак аднімаемага ці падбор такога ліку, прыбаўленне якога да аднімаемага давала бы памяншаемае.
Аперацыя аднімання, калі яе прымяняць да ўсіх пар натуральных лікаў, а не толькі да такіх, якія маглі б быць сумай і складнікам у рамках аперацыі складання, дазваляе выйсці за граніцы натуральнага рада, г.зн. рознасць двух натуральных лікаў не абавязкова будзе натуральным лікам — у выніку аднімання можа атрымацца нуль ці ўвогуле адмоўны лік. Адмоўныя лікі ўжо немагчыма разглядаць як колькасць прадметаў, на лікавай восі яны размяшчаюцца злева ад нуля. Мноства лікаў, атрыманае дабаўленнем да натуральных лікаў адмоўных лікаў і ліку нуль, носіць назву мноства цэлых лікаў. Нуль і мноства натуральных лікаў называюцца дадатныя цэлыя лікі. Пры множанні, каб вызначыць, дадатным ці адмоўным будзе здабытак лікаў, карыстаюцца «правілам знакаў».
Адмоўныя лікі лічылі несапраўднымі і бессэнсоўнымі вельмі многія матэматыкі аж да XIX ст., што, аднак, не замінала іх паўсюднаму фармальнаму ўжыванню. Упершыню паняцце адмоўных лікаў паявілася ў Індыі, дзе іх тлумачылі як «доўг» (дадатныя лікі — «маёмасць»). Распаўсюдзіліся ж адмоўныя лікі толькі ў XVII ст. Тэрмін «адніманне» паявіўся яшчэ ў Баэцыя, тэрміны «аднімаемае» і «памяншаемае» ўвёў ва ўжытак Вольф у 1716 годзе, «рознасць» — Відман у 1489 годзе. Сучасныя абазначэнні знакамі «+» і «−» таксама ўвёў Відман у канцы XV ст.