Квадратычны закон узаемнасці — сцвярджэнне аб вырашальнасці квадратычнага простага ліку. Часцей за ўсё фармулюецца праз сімвалы Лежандра.
Фармулёўка Азначэнне сімвала Лежандра Няхай — цэлы лік, і — просты лік, не роўны 2. вызначаецца наступным чынам: , калі дзеліцца на ; , калі з'яўляецца па модулю , г.зн. не дзеліцца на і існуе такі цэлы , што ; , калі з'яўляецца квадратычнаю нярэштаю па модулю , г.зн. не дзеліцца на і не з'яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю .
Тэарэма Квадратычны закон узаемнасці Гауса для сімвалаў Лежандра сцвярджаеВиноградов. Основы теории чисел. С. 70—71., што
дзе і — розныя няцотныя простыя лікі.
Таксама справядлівыя наступныя дапаўненні: і
Прымяненні Наступны факт, вядомы яшчэ П'еру Ферма: простымі дзельнікамі лікаў могуць быць толькі лік 2 і простыя лікі, прыналежныя арыфметычнай прагрэсіі . Іншымі словамі, параўнанне
па простаму модулю вырашальнае ў тым і толькі ў тым выпадку, калі З дапамогаю сімвала Лежандра, апошняе сцвярджэнне можна выразіць наступным чынам:
Пытанне аб вырашальнасці параўнання
развязваецца алгарытмам з выкарыстаннем мультыплікатыўнасці сімвала Лежандра і квадратычнага закона ўзаемнасці.
Гісторыя Фармулёўка квадратычнага закона ўзаемнасці была вядома яшчэ Эйлеру ў 1783 годзеEuler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.. Лежандр сфармуляваў закон незалежна ад Эйлера і даказаў яго ў некаторых асобных выпадках у 1785 годзе. Поўны доказ быў атрыман Гаусам у 1796 годзе, які пазней даў некалькі яго доказаў, заснаваных на зусім розных ідэях.
Адзін з самых простых доказаў быў прапанаваны у 1872 годзе.
Пазней былі атрыманы розныя абагульненні квадратычнага закона ўзаемнасціАйерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. С. 73, 136..
Гл. таксама
Зноскі
Літаратура
Спасылкі
Катэгорыя:Тэорыя лікаў Катэгорыя:Тэарэмы