thumb|right|У перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў на гарызонце. Праекты́ўная прасто́ра над полем — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы над гэтым полем. Прамыя прасторы называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела .
Калі мае размернасць , то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік , а сама праектыўная прастора абазначаецца і называецца асацыяванаю з (каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне ).
Пераход ад вектарнай прасторы размернасці да адпаведнай праектыўнай прасторы называецца праектывізацыяй прасторы .
Пункты можна апісаць з дапамогаю .
Аксіяматычнае азначэнне Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу . У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы: Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая) Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты) Калі прамыя L і M перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты p і q ляжаць на прамой L, а пункты s і r — на прамой M, то прамыя ps і qr перасякаюцца.
Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы падпрастор віду
Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.
Класіфікацыя Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта. Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты. Размернасць 2 (): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду для некаторага цела задавальняюць , аднак існуюць такія . Большыя размернасці: згодна з Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition), любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя над некаторым целам.
Звязаныя азначэнні і ўласцівасці Няхай — гіперплоскасць у лінейнай прасторы . Праектыўная прастора называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў . На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці існуе натуральная структура . Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.
Таўталагічнае расслаенне Таўталагічным расслаеннем называецца , прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку
а слоем — рэчаісная прамая . Кананічная праекцыя адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты , у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным. Пры прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.
Зноскі
Літаратура Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004. Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.
Катэгорыя:Праектыўная геаметрыя