p-адычны лікчытаецца: пэ-адычны; адпаведна: два-адычны, тры-адычны і г.д. (дзе p — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэння поля рацыянальных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна p-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на р.
p-адычныя лікі ўвёў у 1897 годзе.
Поле p-адычных лікаў звычайна абазначаецца ці .
Алгебраічная пабудова
Цэлыя p-адычныя лікі
Стандартнае азначэнне
Няхай p — некаторы просты лік. Цэлым p-адычным лікам называецца бесканечная паслядоўнасць цэлых лікаў , якія задавальняюць умову:
Дзве паслядоўнасці і вызначаюць адзін і той жа цэлы p-адычным лік тады і толькі тады, калі
для ўсіх .
Складанне і множанне цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.
Азначэнне праз праектыўны ліміт
У тэрмінах кальцо цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як ліміт
кольцаў вылікаў па модулю адносна натуральных праекцый .
Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку , але і любога састаўнога ліку — атрымаецца т. зв. кальцо -адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.
Уласцівасці
Кальцо цэлых p-адычных лікаў звычайна абазначаецца . Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў відавочным чынам: і з’яўляюцца падкальцом.
Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік (такім чынам, ), мы можам запісаць кожны цэлы p-адычны лік у выглядзе адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца кананічным.
Запісваючы кожнае у p-ічнай сістэме злічэння і, улічваючы, што
мы можам усякі p-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як
ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння
Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у p-ічнай сістэме злічэння.
У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць p-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць p-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).
p-адычныя лікі
Азначэнне як поля дзелей
p-адычным лікам называецца элемент поля дзелей кальца цэлых p-адычных лікаў. Гэтае поле называецца полем p-адычных лікаў.
Уласцівасці
Поле p-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле рацыянальных лікаў.
Няцяжка даказаць, што любы цэлы -адычны лік, някратны , будзе абарачальным у колцы , а кратнае адназначна запісваецца ў выглядзе , дзе лік не дзеліцца на і таму абарачальны, а .
Таму любы ненулявы элемент поля можна запісаць у выглядзе , дзе x не кратнае p, а n любое.
Калі n адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых p-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі p-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці
г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе p-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.
Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.
Метрычная пабудова
Любы ненулявы рацыянальны лік можна запісаць як
дзе і — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на , а — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.
Тады p-адычная норма ліку вызначаецца як
Для нуля p-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:
Поле p-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю , вызначанаю p-адычнай нормай:
Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.
Норма працягваецца па непарыўнасці да нормы на .
Уласцівасці Кожны элемент x поля p-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада
дзе — некаторы цэлы лік, а — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым . А іменна, у якасці тут выступаюць лічбы з запісу x у сістэме злічэння з асноваю p. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы да самога . p-адычная норма задавальняе моцную няроўнасць трохвугольніка
Лікі з умоваю утвараюць кальцо цэлых p-адычных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў у норме . Лікі з умоваю утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца p-адычнымі адзінкамі. Сукупнасць лікаў з умоваю з’яўляецца галоўным ідэалам у з утваральным элементам p. Метрычная прастора гомеаморфная Кантараву мноству, а прастора гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам. Для розных p нормы незалежныя, а палі неізаморфныя. Для любых элементаў , , , , , … такіх, што і , можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў такіх, што для любога p і .
Выкарыстанне Калі — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх k параўнання
раўназначная вырашальнасці ўраўнення
у цэлых p-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях p-адычных лікаў пры ўсіх p, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю.
На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых p-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў k. Напрыклад, згодна з , пры дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных k будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю p (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю p). Інакш кажучы, пры для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых p-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры .
Літаратура
Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — : Наука, 1985. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — : Мир, 1982. Радына А. Я., Радына Я. В. Элементарныя ўводзіны ў р-адычны аналіз. — : БДПУ, 2006. Серр Ж.-П. Курс арифметики. — : Мир, 1972.
Спасылкі
p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics Completion of Algebraic Closure — on-line lecture notes by Brian Conrad An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis — on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007 Efficient p-adic arithmetic (slides)
Катэгорыя:Тэорыя лікаў Катэгорыя:Лікі