Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы. Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.
Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць няроўнасцю Шварца і няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац БунякоўскагаBounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.. Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца няроўнасцю Кашы і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.
Фармулёўка Няхай - лінейная прастора са скалярным здабыткам . Няхай — норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн. . Тады для любых маем:
прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары і прапарцыянальныя (калінеарныя).
Каментарыі У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што , дзе — плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары і .
У агульным выпадку:
Прыклады У прасторы камплексназначных квадратычна складальных паслядоўнасцей няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
дзе абазначае камплекснае спалучэнне . У прасторы камплексных квадратычна інтэгравальных функцый няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
дзе абазначае каварыяцыю, а — дысперсію.
Доказ Калі то справядліва наступнае
Значыць дыскрымінант мнагачлена недадатны, г.зн.
Такім чынам,
Калі то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе Вызначым вектар Тады і
Да скалярнага здабытку прыменім вынік першага пункта доказу.
Зноскі
Катэгорыя:Функцыянальны аналіз Катэгорыя:Лінейная алгебра Катэгорыя:Няроўнасці Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей Катэгорыя:Тэорыя аператараў Катэгорыя:Тэарэмы функцыянальнага аналізу Катэгорыя:Імавернасныя няроўнасці Катэгорыя:Лікавыя няроўнасці