desno|mini|250px|Riemannova zeta-funkcija u kompleksnoj ravni mini|250px|Riemannova zeta-funkcija za realni s > 1 U matematici, Riemannova zeta-funkcija, nazvana po Bernhardu Riemannu, je važna funkcija u teoriji brojeva zbog veze s teoremom o raspodjeli prostih brojeva. Također se primjenjuje u fizici, teoriji vjerovanoće, i primijenjenoj statistici.
Definicija
Funkcija ζ(s) je funkcija kompleksne varijable s i najprije se definirala slijedećom beskonačnom sumom:
Leonhard Euler je otkrio vezu zeta-funkcije i raspodjele prostih brojeva
gdje, po definiciji, lijeva strana je ζ(s) a beskonačni produkt na desnoj strani je po svim prostim brojevima p.
Zeta-funkcija daje sljedeće vrijednosti za neke odabrane brojeve:
; (harmonički niz)
; koristi se za računanje kritične temperature Bose–Einsteinovog kondenzata u fizici.
; dokaz ove jednakosti je tzv. Bazelski problem.
; tzv. Apéryjeva konstanta
Poznato je da zeta-funkcija ima nule -2, -4, -6... One se nazivaju trivijalnima. Hipoteza da sve ostale (kompleksne) nule imaju realni dio jednak 1/2 je poznata kao Riemannova hipoteza i do sada nije riješena.
Također pogledajte
Prosti brojevi Leonhard Euler Bernhard Riemann
Literatura
Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859). In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp 199–220. Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458–464. (Globally convergent series expression.) E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).
Vanjski linkovi
Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld - objašnjenje koje koristi matematički pristup (eng.) Tablica odabranih nula (!! kliknite na tipku on Download Now...!!) Spis sadrži 1.000.000 nula Prime Numbers Get Hitched općenito o važnosti prostih brojeva, za nestručnu publiku (eng.)
Kategorija:Zeta i L-funkcije