Jednakostraničan trougao je trougao u kojem su sve tri stranice jednake
malo|desno
i sva tri ugla jednaka
.
Presjek težišnih duži (), presjek visina (), simetrala stranica (centar opisane kružnice ), simetrala uglova (centar upisane kružnice ) sijeku se u jednoj tački.
Težišne duži su međusobno jednake.
Visine su međusobno jednake.
Težišne duži su podudarne visinama. Također, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.
Formule desno|150px
Veličine izražene preko stranice tougla
površina obim poluprečnik opisane kružnice poluprečnik upisane kružnice ili visina .
Ove veličine možemo izraziti i preko visine
Visina
Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dvije formule:
,
⇒
kada se racionališe i skrati dobija se
.
Glavne osobine Neka je dat trougao čije su stranice ,, poluobim , poluprečnik opisane kružnice i poluprečnik upisane kružnice Glavne osobine
Trougao je jednakostraničan ako i samo ako je bilo koja od sljedečih izjava tačna.
Stranice
Poluobim
Uglovi .
Površina
Poluprečnik opisane i upisane kružnice
Jednake dužine Jednake dužine imaju težišnice, visine bisektrise.
Značajne tačke trougla Težište, ortocentar, centar opisanog i upisanog trougla se poklapaju.
Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.
Ostale osobine Odnos poluprečnika upisanog i opisanig kruga
Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je
Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima
Ako su vrhovi trougla određeni su kompleksnim brojevima , , respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna: je jednakostraničan trougao
za za
Ako su ), i vrhovi pozitivno orijentisanog trougla , onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:
je jednakostraničan trougao; , gde je , gde je
Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti , i od vrhova , , i , važi
Za bilo koju tačku upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima , i od vrhova važi
Konstrukcija malo|desno
Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.
Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla
II način
malo|250px
Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.
Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.
Izvođenje formule za površinu
malo|desno Formulu za površinu
lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.
Pomoću Pitagorine teoreme
Pomoću trigonometrije
U kulturi i društvu Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao. Davidova zvijezda, simbol jevrejskog naroda, sastoji se od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvjesna religiozna značenja. Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, bio je oblika jednakostraničnog trougla. Na zastavi Filipina Oblik saobraćajnog znaka. Izvor
Equilateral Triangle NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY Primene kompleksnih brojeva u geometriji 07.12.2011
Reference
Kategorija:Vrste trouglova