Laritmètica (del grec αριθμός = nombre) és la branca de les matemàtiques que tracta de les propietats de certes operacions amb nombres. El seu ús per part dels matemàtics professionals és com a sinònim de teoria dels nombres. Utilitzada com a sinònim de teoria de nombres inclou les propietats dels nombres sencers relacionades amb nombres primers i divisibilitat així com la resolució d'equacions.
Història miniatura|Fragment del papir de Rhind. La prehistòria de l'aritmètica es limita a pocs petits artefactes que indiquen que es tenia una concepció clara de la suma i la resta, el més conegut és l'Os d'Ishango d'Àfrica central, està datat entre 20.000 i 18.000 anys aC.
És clar que els Babilonis tenien un sòlid coneixement de gairebé tots els aspectes de l'aritmètica elemental entorn del 1800 AC, però els historiadors només poden especular sobre els mètodes que feien servir per assolir els resultats aritmètics – com es pot veure, per exemple, a la tauleta fe fang Plimpton 322, que sembla una llista de ternes pitagòriques, però no hi ha indicis de com es va produir originalment la llista. De la mateixa manera, a Egipte el papir matemàtic Rhind (datat a partir de c. 1650 aC, encara que evidentment és una còpia d'un text més vell del 1850 AC) mostra que la suma, la resta, la multiplicació i la divisió es feien servir en el sistema de fraccions egípcies.
Nicòmac Gerasè (c. 60 dC - c. 120 dC) va recopilar l'enfocament filosòfic que li donava Pitàgores als nombres, i les relacions entre ells, a la seva Introducció a l'aritmètica.
En aquella època les operacions aritmètiques bàsiques eren assumptes altament complicats; va ser el mètode conegut com el "Mètode dels Indis" (En llatí Modus Indorum) el que esdevingué l'aritmètica que es coneix avui en dia. L'aritmètica índia era molt més senzilla que la grega degut a la simplicitat del sistema de numeració indi, que tenia el zero i era un sistema de numeració posicional. Al el bisbe sirià Severus Sebokht esmenta aquest mètode amb admiració, afirmant però que el mètode dels indis era indescriptible. Els àrabs aprengueren el mètode dels indis i l'anomenaren hesab.
Aquest sistema de numeració va ser introduït a Catalunya per la influència dels àrabs i des d'aquí es va divulgar per primer cop a la resta d'Europa occidental pel papa Silvestre II al voltant de l'any 1000. L'havia après a Vic i a Ripoll on va estudiar sota la protecció del Comte Borrell II de Barcelona.Gerbert The teacher Biografia de Gerbert d'Orlac (Papa Silvestre II). Els llibres escrits per Silvestre II estaven dirigits als erudits i no es divulgaren. No va ser fins a 1202 que Leonardo de Pisa (també conegut com a Fibonacci) va escriure el seu llibre Liber Abaci, aquest llibre s'adreçava als comerciants i és el que va acabar d'introduir a Europa el sistema de numeració posicional en base deu.Liber Abaci Article sobre el Liber Abaci de Fibonacci a Absolute AstronomyCal no confondre'l amb un altre llibre dos cents anys anterior que té el mateix títol i que va ser escrit per Bernelin, un deixeble de Gerbert d'Horlac vegeu:Gerbert d'Aurillac and the March of Spain: A Convergence of Cultures
A l'edat mitjana l'aritmètica era una de les set arts liberals que s'explicaven a les universitats. Amb l'arribada de la impremta i l'interès dels comerciants per l'aritmètica aquesta disciplina és la primera que se'n serveix. Els primers llibres de matemàtiques que s'imprimeixen són d'aritmètica i s'imprimeixen en les llengües vernacles, la qual cosa afavorí la seva difusió. El primer fou d'un autor anònim imprès a la ciutat de Treviso el 1478 i escrit en italià. El segon fou Suma de l'art de arismètica escrit en català per Francesc de Santcliment, imprès a Barcelona el 1482.Calligraphia et tipographia, arithmetica et numerica, chronologia,pàgines 219, 221 i següents. Josep Balcells i Reig, Universidad de Barcelona. Departament de Historia Medieval. Paleografía y Diplomática, Publicat per Edicions Universitat Barcelona, 1998, , 9788447519668
Edward Cocker va escriure diversos llibres d'aritmètica en el .
L'any 1801, Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) publica el llibre Disquisitiones arithmeticae.Carl Friedrich Gauss. Recherches arithmétiques, 1801 Traducció al francés de M. Poullet-Delisle Éd. Courcier 1807 Dona un nou enfocament basat a treballar sobre el residu de dividir els nombres en comptes d'amb els nombres mateixos. Aquest nou enfocament permet elucidar cèlebres conjectures<ref name="Per">Per exemple la llei de reciprocitat quadràtica a la pàgina 96, o la construcció amb regle i compàs de l'heptadecàgon a les pàgines 429-489 de les Recherches arithmétiques</ref> i simplifica les demostracions d'importants resultatsEs pot citar el teorema de Wilson (p. 56), o el petit teorema de Fermat (p. 50) de les Recherches arithmétiques gràcies a una major abstracció.
Tipus de nombres
miniatura|Lliçons d'Aritmètica publicades a Barcelona cap a l'any 1932 Un nombre és el concepte que sorgeix del resultat de comptar les coses que formen un agregat, o una generalització d'aquest concepte.DIEC: "Nombre"
Per tal de facilitar les operacions aritmètiques és molt important, a més del concepte dels diferents tipus de nombres, el sistema emprat per representar-los o sistema de numeració.
Els diferents tipus de nombres es poden introduir com a generalitzacions successives a partir dels nombres naturals.
L'aritmètica dels nombres naturals, nombres enters, nombres racionals o fraccionaris i nombres reals s'estudia mitjançant algorismes manuals, tot i que després es fan servir eines com calculadores, ordinadors o àbacs.
En resum, es distingeixen els següents tipus de nombres: Nombres naturals
Els nombres naturals són usats per a dos propòsits fonamentalment: per a descriure la posició d'un element en una successió ordenada, que es designa per un nombre ordinal; i per a especificar la grandària d'un conjunt finit, pel qual es fa servir un nombre cardinal.
Encara que el concepte intuïtiu de nombres naturals és immediat i gairebé innat, la seva definició no és senzilla.
El concepte de nombre natural està relacionat amb els agregats d'objectes. Es pot dir que dos conjunts tenen el mateix nombre d'objectes si es pot establir una correspondència d'un a un entre els elements d'un conjunt i els de l'altre. El concepte de nombre natural correspon a l'abstracció d'allò que tenen en comú tots els conjunts amb el mateix nombre d'objectes, no és ni els objectes en si, ni el conjunt, ni les xifres que es fan servir per a representar tots els conjunts amb el mateix nombre d'objectes, sinó el concepte abstracte que hi ha al darrere d'aquesta idea.
L'aritmètica estudia les operacions en el conjunt dels nombres naturals, fonamentalment la suma, la resta, la multiplicació i la divisió.
En aritmètica les operacions que es defineixen sobre els nombres naturals comencen per la suma que es pot interpretar de la següent manera: sumar dos nombres n1 i n₂ és equivalent a trobar el nombre d'elements d'un conjunt obtingut de la unió de dos conjunts tals que un té n1 elements i l'altre en té n₂.
La resta es defineix com l'operació inversa de la suma, és a dir, donat un nombre S que ha de ser el resultat d'una suma i un altre n1 que és un dels sumands, trobar el nombre n₂ tal que sumat a n1 dona S. Perquè aquesta operació tingui resultat cal que S sigui més gran que n1.
La multiplicació de dos nombres n1 per n₂ en el conjunt dels nombres naturals es pot interpretar com l'aplicació repetida de la suma del primer nombre amb si mateix tantes vegades com unitats té l'altre.
La divisió es pot definir com l'operació inversa de la multiplicació en el sentit de, donat un resultat P, i un multiplicand n1 es tracta de trobar un nombre n₂ tal que multiplicat per n1 dóni P. En general no és possible resoldre aquest problema però per a qualssevol dos nombres naturals a i b, amb b ≠ 0, podem trobar altres naturals q i r tals quea = b×q + r i r < b.
El nombre q anomenat quocient i r el residu d'aquesta divisió d'''a entre b. Els nombres q i r estan unívocament determinats per a i b.
L'operació que a a i b els fa correspondre q i r (o dit d'altra manera que a partir de a i b calcula q i r) s'anomena divisió euclidiana.
En el conjunt dels nombres naturals es compleixen les següents propietats:
Suma Multiplicació Clausura: a + b és un nombre natural a × b és un nombre natural Propietat associativa: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c Propietat commutativa: a + b = b + a a × b = b × a Existència de l'element neutre: a + 0 = a a × 1 = a Propietat distributiva: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) No hi ha divisors de zero: si ab = 0, llavors o bé a = 0 o bé b = 0 (o tots dos)
Si els nombres estan expressats en un sistema de numeració posicional com ara base 10 o base 2 llavors es poden trobar algorismes eficients per obtenir el resultat de les operacions. Tradicionalment l'estudi i ensenyament d'aquest algorisme ha estat l'objecte principal de l'aritmètica. En base 2 resulta especialment senzill construir circuits (electrònics o elèctrics o hidràulics) que realitzin de forma automàtica aquestes operacions.
Nombres primers i teorema fonamental de l'aritmètica
Un subconjunt dels conjunts dels nombres naturals de rellevant importància en aritmètica és el conjunt dels nombres primers.
Els nombres primers són els nombres naturals diferents d'1 que compleixen la propietat que només són divisibles entre ells mateixos i entre 1.
El teorema fonamental de l'aritmètica afirma que
Tot nombre natural superior a 1 es pot escriure, de forma única com a producte de nombres primers. El teorema conté dues afirmacions, la primera és que tot nombre es pot escriure com a producte de nombres primers (això és trivial perquè si no, ell mateix és un nombre primer i, per tant, compleix l'afirmació com a producte trivial d'un únic factor), la segona és la més interessant i consisteix en el fet que no es poden trobar dos productes diferents (tret de l'ordre en què es presentin els factors). La seva demostració és immediata a partir del lema d'Euclides que diu que: si un nombre primer p és divisor del producte a * b i no és divisor de a llavors és divisor de b.
A partir d'aquí sorgeix el problema de descompondre un nombre en factors primers amb els diferents algorismes per resoldre'l.
Nombres enters
A partir dels nombres naturals es construeixen els nombres enters estenent-los, és a dir afegint-los-hi uns nous elements de tal forma que la resta sempre tingui un resultat.
El nombre negatiu -n (oposat de n) es defineix com el nombre que sumat a n dona zero.
Els nombres negatius es poden interpretar com la quantitat d'elements, de conjunts amb elements especials, que en unir-se amb els conjunts que tenen elements normals es neutralitzen, cancel·len o anul·len. Per exemple una quantitat negativa de diners es pot emprar per a representar un deute de tal manera que en unir-se amb la mateixa quantitat però positiva es cancel·la el deute. La càrrega elèctrica d'un determinat nombre de partícules es pot representar amb un nombre negatiu de tal manera que en reunir-se amb un nombre igual de partícules que tenen la mateixa quantitat de càrrega però oposada es cancel·len mútuament i en resulta una matèria elèctricament neutra.
Com que els nombres enters són una extensió dels nombres naturals les operacions de sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciació, etc. han de coincidir (han de donar el mateix resultat) quan s'apliquen entre els nombres enters que estan identificats amb nombres naturals, però cal definir de nou el significat d'aquestes operacions quan intervenen nombres negatius.
Un concepte útil per aquestes definicions és el de valor absolut d'un nombre enter. Es defineix el valor absolut d'un nombre enter n de la següent manera: Si el nombre n és positiu el seu valor absolut és el mateix nombre, si és negatiu el seu valor absolut és el seu oposat (és a dir el nombre positiu que cal sumar-li perquè el resultat sigui zero).