En la teoria del caos, lefecte papallona és la dependència sensible de les condicions inicials en què un petit canvi en un estat d'un sistema no lineal determinista pot donar lloc a grans diferències en un estat posterior.
El terme està estretament relacionat amb el treball del matemàtic i meteoròleg Edward Lorenz. Va assenyalar que l'efecte papallona es deriva de l'exemple metafòric dels detalls d'un tornado (el moment exacte de formació, el camí exacte seguit) influenciats per pertorbacions menors, com ara una papallona llunyana batent les seves ales diverses setmanes abans. Lorenz va utilitzar originalment una gavina provocant una tempesta, però es va convèncer perquè fos més poètic amb l'ús de la papallona i el tornado el 1972.
Lorenz va descobrir l'efecte quan va observar les execucions del seu model meteorològic amb dades de condicions inicials que es van arrodonir d'una manera aparentment intrascendent. Va assenyalar que el model meteorològic no podia reproduir els resultats de les execucions amb les dades de condicions inicials no arrodonides. Un canvi molt petit en les condicions inicials havia creat un resultat significativament diferent.
La idea que les causes petites poden tenir grans efectes en el temps va ser reconeguda anteriorment pel matemàtic i enginyer francès Henri Poincaré. El matemàtic i filòsof estatunidenc Norbert Wiener també va contribuir a aquesta teoria. El treball d'Edward Lorenz va situar el concepte d'«inestabilitat» de l'atmosfera terrestre en una base quantitativa i va vincular el concepte d'inestabilitat amb les propietats de grans classes de sistemes dinàmics que estan experimentant dinàmiques no lineals i caos determinista.
Des d'aleshores, el concepte d'efecte papallona s'ha utilitzat fora del context de la ciència meteorològica com un terme ampli per a qualsevol situació en què se suposa que un petit canvi és la causa de conseqüències més grans.
Història A Die Bestimmung des Menschen (El propòsit de l'home, 1800), Johann Gottlieb Fichte diu que «no podríeu treure un sol gra de sorra del seu lloc sense per això... canviar alguna cosa en totes les parts del tot incommensurable».
La teoria del caos i la dependència sensible de les condicions inicials van ser descrites en nombroses formes de literatura. Així ho demostra el cas del problema dels tres cossos d'Henri Poincaré el 1890. Més tard va proposar que aquests fenòmens podrien ser habituals, per exemple, en meteorologia.
L'any 1898, Jacques Hadamard va observar una divergència general de trajectòries en espais de curvatura negativa. Pierre Duhem va discutir el possible significat general d'això el 1908.
La idea que la mort d'una papallona podria tenir un efecte de gran abast en els esdeveniments històrics posteriors va fer la seva primera aparició coneguda a A Sound of Thunder, un conte de 1952 de Ray Bradbury. A Sound of Thunder va parlar de la probabilitat de viatjar en el temps.
Més precisament, però, gairebé la idea exacta i la frase exacta (d'una petita ala d'insecte que afecta els vents de l'atmosfera sencera) es va publicar en un llibre per a nens que va tenir un gran èxit i es va fer conegut mundialment el 1962, un any abans que Lorenz publiqués el seu descobriment:
L'any 1961, Lorenz estava executant un model numèric d'ordinador per refer una predicció del temps a partir de la meitat de la prova anterior com una drecera. Va introduir la condició inicial 0,506 de la impressió en lloc d'introduir el valor 0,506127 de precisió total. El resultat va ser un escenari meteorològic completament diferent.
Lorenz va escriure:
El 1963, Lorenz va publicar un estudi teòric d'aquest efecte en un article molt citat i seminal anomenat Deterministic Nonperiodic Flow (els càlculs es van realitzar en un ordinador Royal McBee LGP-30). En un altre lloc va afirmar:
Seguint els suggeriments dels col·legues, en discursos i ponències posteriors, Lorenz va utilitzar la «papallona» més poètica. Segons Lorenz, quan no va oferir un títol per a una xerrada que havia de presentar a la 139a reunió de l'Associació Americana per a l'Avenç de la Ciència (AAAS) l'any 1972, Philip Merilees va inventar: «El bateig de les ales d'una papallona al Brasil va provocar un tornado a Texas?» com a títol. Tot i que una papallona batejant les ales s'ha mantingut constant en l'expressió d'aquest concepte, la ubicació de la papallona, les conseqüències i la ubicació de les conseqüències han variat molt.
miniatura|Una trajectòria a l'espai de fases de l'atractor de Lorenz La frase es refereix a la idea que les ales d'una papallona poden crear petits canvis a l'atmosfera que poden alterar en última instància el camí d'un tornado o retardar, accelerar o fins i tot prevenir l'ocurrència d'un tornado en un altre lloc. La papallona no acciona ni crea directament el tornado, però el terme pretén implicar que el bateig de les ales de la papallona pot provocar el tornado; en el sentit que la solapa de les ales és part de les condicions inicials d'una complexa xarxa interconnectada; un conjunt de condicions condueix a un tornado, mentre que l'altre conjunt de condicions no. L'ala que bateja representa un petit canvi en la condició inicial del sistema, que es desemboca en alteracions a gran escala dels esdeveniments (semblant a l'efecte dòmino). Si la papallona no hagués batejat les ales, la trajectòria del sistema podria haver estat molt diferent, però també és igualment possible que el conjunt de condicions sense que la papallona batés les ales sigui el conjunt que condueixi a un tornado.
L'efecte papallona presenta un repte evident per a la predicció, ja que les condicions inicials d'un sistema com el temps mai no es poden conèixer amb una precisió completa. Aquest problema va motivar el desenvolupament de la predicció conjunta, en la qual es fan una sèrie de previsions a partir de condicions inicials pertorbades.
Alguns científics han argumentat des de llavors que el sistema meteorològic no és tan sensible a les condicions inicials com es creia anteriorment. David Orrell argumenta que el principal contribuent a l'error de la previsió meteorològica és l'error del model, amb la sensibilitat a les condicions inicials jugant un paper relativament petit. Stephen Wolfram també assenyala que les equacions de Lorenz estan molt simplificades i no contenen termes que representin efectes viscosos; creu que aquests termes tendirien a esmorteir petites pertorbacions.
Tot i que l'«efecte papallona» sovint s'explica com a sinònim de «dependència sensible de les condicions inicials» del tipus descrit per Lorenz en el seu article de 1963 (i observat anteriorment per Poincaré), la metàfora de la papallona es va aplicar originalment al treball que va publicar el 1969, que va portar la idea un pas més enllà. Lorenz va proposar un model matemàtic de com els petits moviments de l'atmosfera augmenten per afectar sistemes més grans. Va trobar que els sistemes d'aquest model només es podrien predir fins a un punt específic en el futur, i més enllà d'això, reduir l'error en les condicions inicials no augmentaria la predictibilitat (sempre que l'error no sigui zero). Això va demostrar que un sistema determinista podria ser «observacionalment indistingible» d'un de no determinista en termes de predictibilitat. Examens recents d'aquest article suggereixen que va oferir un repte important a la idea que el nostre Univers és determinista, comparable als reptes que ofereix la física quàntica.
Il·lustració {|class=wikitable width=100% |- ! colspan=3|L'efecte papallona a l'atractor de Lorenz |- | colspan=2 style="text-align:center;"| Temps: 0 ≤ t ≤ 30 | style="text-align:center;"| Eix z |- | colspan=2 style="text-align:center;"|300px | style="text-align:center;"|300px |- |colspan=3|Aquestes figures mostren dos segments de l'evolució tridimensional de dues trajectòries (una en blau i l'altra en groc) durant el mateix període a l'atractor de Lorenz començant en dos punts inicials que només difereixen en 10−5 en l'eix X. Inicialment, les dues trajectòries semblen coincidents, tal com indica la petita diferència entre la coordenada z de les trajectòries blaves i grogues, però per a t > 23 la diferència és tan gran com el valor de la trajectòria. La posició final dels cons indica que les dues trajectòries ja no coincideixen a t = 30.
Teoria i definició matemàtica La recurrència, el retorn aproximat d'un sistema cap a les seves condicions inicials, juntament amb la dependència sensible de les condicions inicials, són els dos ingredients principals del moviment caòtic. Tenen la conseqüència pràctica de fer que sistemes complexos, com el temps atmosfèric, siguin difícils de predir després d'un determinat interval de temps (aproximadament una setmana en el cas del temps atmosfèric) ja que és impossible mesurar les condicions atmosfèriques inicials amb total precisió.
Un sistema dinàmic mostra una dependència sensible de les condicions inicials si punts arbitràriament junts se separen al llarg del temps a una velocitat exponencial. La definició no és topològica, sinó essencialment mètrica.
Si M és l'espai d'estats del mapa , llavors mostra una dependència sensible a les condicions inicials si per a qualsevol x a M i qualsevol δ > 0, existeix y en M, a una distància d(. , .) de tal manera que i de tal manera que
per a algun paràmetre positiu a. La definició no requereix que tots els punts d'un veïnatge se separin del punt base x, però requereix un exponent de Liapunov positiu.
El marc matemàtic més senzill que mostra una dependència sensible de les condicions inicials és proporcionat per una parametrització particular del mapa logístic:
que, a diferència de la majoria de mapes caòtics, té una solució de forma tancada:
on el paràmetre de condició inicial està donat per . Per al racional , després d'un nombre finit d'iteracions mapeja en una seqüència periòdica. Però gairebé tots són irracionals, i, per a irracionals , no es repeteix mai (no és periòdic). Aquesta equació de solució demostra clarament les dues característiques clau del caos: estirament i plegament; el factor 2n mostra el creixement exponencial de l'estirament, que resulta en una dependència sensible de les condicions inicials (l'efecte papallona), mentre que la funció sinusoïdal al quadrat manté plegats dins del rang [0, 1].
En sistemes físics En el temps atmosfèric L'efecte papallona és més familiar pel que fa al temps atmosfèric; es pot demostrar fàcilment en models de predicció meteorològica estàndard, per exemple. Els científics del clima James Annan i William Connolley expliquen que el caos és important en el desenvolupament de mètodes de predicció del temps; els models són sensibles a les condicions inicials. Afegeixen l'advertència: «Per descomptat, l'existència d'una papallona desconeguda batejant les seves ales no té cap relació directa amb les previsions meteorològiques, ja que trigarà massa temps perquè una pertorbació tan petita creixi a una mida significativa, i tenim moltes més immediates incerteses de les quals preocupar-se. Per tant, l'impacte directe d'aquest fenomen en la predicció del temps és sovint una mica incorrecte».
Els dos tipus d'efectes papallona, inclosa la dependència sensible de les condicions inicials, i la capacitat d'una petita pertorbació per crear una circulació organitzada a grans distàncies, no són exactament els mateixos. S'ha documentat una comparació dels dos tipus d'efectes papallona i el tercer tipus d'efecte papallona. En estudis recents, s'ha informat que tant els models lineals meteorològics com els no meteorològics han demostrat que la inestabilitat juga un paper en la producció d'un efecte papallona, que es caracteritza per un creixement exponencial breu però significatiu com a resultat d'una petita pertorbació.