El càlcul vectorial o anàlisi vectorial és el camp de les matemàtiques que es dedica a l'estudi de l'anàlisi real d'un vector en dues o més dimensions. Consisteix en un conjunt de fórmules i tècniques de resolució de problemes molt útils en els camps de l'enginyeria i la física.
Es consideren camps vectorials, associats a un vector en cada punt de l'espai, i camps escalars, associats a un escalar en cada punt de l'espai. Així per exemple, la temperatura d'una piscina és un camp escalar: a cada punt associem un valor escalar de temperatura. El flux de l'aigua a la mateixa piscina, en canvi, és un camp vectorial: a cada punt associem un vector velocitat.
El càlcul vectorial va ser desenvolupat a partir de la teoria dels quaternions per J. Willard Gibbs i Oliver Heaviside cap a finals del , i la major part de la notació i la terminologia van ser establertes per Gibbs i Edwin Bidwell Wilson al seu llibre de 1901, Vector Analysis, tot i que matemàtics anteriors com Isaac Newton van ser pioners en aquest camp. En la seva forma estàndard utilitzant el producte vectorial, el càlcul vectorial no es generalitza a dimensions superiors, però l'enfocament alternatiu de l'àlgebra geomètrica, que utilitza el producte exterior, sí que ho fa.
Existeixen tres operacions importants en el càlcul vectorial: gradient: mesura la raó i la direcció de canvi en un camp escalar; el gradient d'un camp escalar és un camp vectorial. rotacional: mesura la tendència d'un camp vectorial a rotar en un punt; el rotacional d'un camp vectorial és un altre camp vectorial. divergència: mesura la tendència d'un camp vectorial a originar-se d'un cert punt o a originar-se d'aquest punt.
Una quarta operació, el Laplacià, és una combinació de la divergència i el gradient.
A més, també hi ha tres teoremes importants relacionats amb aquests operadors: Teorema del gradient (Teorema de Green) Teorema del rotacional (Teorema de Stokes o Kelvin-Stokes) Teorema de la divergència (Teorema de Gauss o Gauss-Ostrogradski),
La majoria de resultats analítics són fàcilment compresos, de manera més general, fent servir la maquinària de la geometria diferencial, de la qual el càlcul vectorial n'és un subconjunt.
Objectes bàsics Camps escalars Un camp escalar assigna suaument un valor escalar a cada punt d'un espai. L'escalar és un nombre matemàtic que representa una magnitud física. Exemples de camps escalars en aplicacions inclouen la distribució de temperatura a l'espai, la distribució de pressió en un fluid i els camps quàntics de spin zero (coneguts com a bosons escalars), com ara el camp de Higgs. Aquests camps són objecte de la teoria de camps escalars.
Camps vectorials Un camp vectorial és una assignació suau d'un vector a cada punt d'un espai. Un camp vectorial en el pla, per exemple, es pot visualitzar com un conjunt de fletxes amb una magnitud i direcció determinades, cadascuna unida a un punt del pla. Els camps vectorials s'utilitzen sovint per modelar, per exemple, la velocitat i la direcció d'un fluid en moviment per l'espai, o la força i la direcció d'alguna força, com ara la força magnètica o gravitatòria, a mesura que canvia de punt a punt. Això es pot utilitzar, per exemple, per calcular el treball realitzat sobre una línia.
Vectors i pseudovectors En tractaments més avançats, es distingeixen encara més els camps pseudovectorials i els camps pseudoescalars, que són idèntics als camps vectorials i als camps escalars, excepte que canvien de signe sota una aplicació que inverteix l'orientació: per exemple, la curvatura d'un camp vectorial és un camp pseudovectorial, i si es reflecteix un camp vectorial, la curvatura apunta en la direcció oposada. Aquesta distinció s'aclareix i s'elabora en àlgebra geomètrica, tal com es descriu a continuació.
Àlgebra vectorial Les operacions algebraiques (no diferencials) en càlcul vectorial s'anomenen àlgebra vectorial, que es defineixen per a un espai vectorial i després s'apliquen puntualment a un camp vectorial. Les operacions algebraiques bàsiques consisteixen en:
+Notacions en càlcul vectorial Operació Notació Descripció Suma de vectors Suma de dos vectors que dóna com a resultat un vector. Multiplicació escalar Multiplicació d'un escalar i un vector, que dóna com a resultat un vector. producte escalar Multiplicació de dos vectors, que dóna com a resultat un escalar. producte vectorial Multiplicació de dos vectors en , donant lloc a un (pseudo)vector. També s'utilitzen habitualment els dos productes triples:
+Productes triples de càlcul vectorial Operació Notació Descripció Producte mixt El producte escalar del producte vectorial de dos vectors. Producte mixt El producte vectorial del producte vectorial de dos vectors.
Operadors i teoremes Operadors diferencials El càlcul vectorial estudia diversos operadors diferencials definits en camps escalars o vectorials, que normalment s'expressen en termes de l'operador del (), també conegut com a nabla. Els tres operadors vectorials bàsics són:
+Operadors diferencials en càlcul vectorial Operació Notació Descripció Notacional analogia Domini/Rang Gradient Mesura la velocitat i la direcció del canvi en un camp escalar. Multiplicació escalar Mapeja camps escalars a camps vectorials. Divergència Mesura l'escala d'una font o dissipador en un punt donat d'un camp vectorial. producte escalar Mapeja camps vectorials a camps escalars. Rotacional Mesura la tendència a girar al voltant d'un punt en un camp vectorial . producte vectorial Mapeja camps vectorials a (pseudo)camps vectorials. denota un camp escalar i denota un camp vectorial També s'utilitzen habitualment els dos operadors de Laplace:
+Operadors de Laplace en càlcul vectorial Operació Notació Descripció Domini/Rang Laplacià Mesura la diferència entre el valor del camp escalar amb la seva mitjana en boles infinitesimals. Mapes entre camps escalars. Laplacià vectorial Mesura la diferència entre el valor del camp vectorial amb la seva mitjana en boles infinitesimals. Mapes entre camps vectorials. denota un camp escalar i denota un camp vectorial
Una quantitat anomenada matriu jacobiana és útil per estudiar funcions quan tant el domini com el rang de la funció són multivariable, com ara un canvi de variables durant la integració.
Teoremes integrals Els tres operadors vectorials bàsics tenen teoremes corresponents que generalitzen el teorema fonamental del càlcul a dimensions superiors:
+Teoremes integrals del càlcul vectorial Teorema Declaració Descripció Teorema del gradient La integral lineal del gradient d'un camp escalar sobre una corba és igual al canvi en el camp escalar entre els extrems i de la corba. Teorema de la divergència La integral de la divergència d'un camp vectorial sobre un sòlid -dimensional és igual al flux del camp vectorial a través de la superfície límit tancada -dimensional del sòlid. Teorema de Curl (Kelvin-Stokes) La integral de la curvatura d'un camp vectorial sobre una superfície en és igual a la circulació del camp vectorial al voltant de la corba tancada que delimita la superfície. denota un camp escalar i denota un camp vectorial
+Teorema de Green del càlcul vectorial Teorema Declaració Descripció Teorema de Green La integral de la divergència (o curvatura) d'un camp vectorial sobre alguna regió en és igual al flux (o circulació) del camp vectorial sobre la corba tancada que delimita la regió. Per a la divergència, . Per a rotacions, . i són funcions de .
Història L'estudi dels vectors s'orgina amb la invenció dels quaternions de Hamilton, que juntament amb d'altres els van desenvolupar com a eina matemàtica per a l'exploració de l'espai físic. Però els resultats van ser desil·lusionants, perquè van veure que els quaternions eren massa complicats per entendre'ls ràpidament i aplicar-los fàcilment.
Els quaternions contenien una part escalar i una part vectorial i les dificultats sorgien quan aquestes dues parts es manipulaven simultàniament. Els científics es van adonar que molts problemes es podien solucionar considerant la part vectorial separadament i així va néixer l'anàlisi vectorial.
Això va ser principalment l'obra del físic estatunidenc Josiah Willard Gibbs (1839-1903) i del físic matemàtic anglès Oliver Heaviside (1850-1925).
Recentment, s'ha desenvolupat el càlcul fraccional de conjunts (en anglès, fractional calculus of sets o FCS) com a metodologia derivada del càlcul fraccional. Aquesta metodologia, mencionada per primer cop en l'article "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods té com a objectiu caracteritzar i organitzar els elements del càlcul fraccional mitjançant l'ús de conjunts, aprofitant la varietat d'operadors fraccionals disponibles en la literatura.A review of definitions for fractional derivatives and integralA review of definitions of fractional derivatives and other operatorsHow many fractional derivatives are there?Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receiversCode of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programmingSets of Fractional Operators and Some of Their Applications
Actualment, el càlcul fraccional no té una definició unificada del que constitueix una derivada fraccional. Per tant, quan no cal especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:
Els operadors fraccionals tenen diverses representacions, però una de les seves propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mesura que . Considerant una funció escalar i la base canònica de denotada com , el següent operador fraccional d'ordre es defineix utilitzant la notació d'Einstein:Einstein summation for multidimensional arrays
Denotant com la derivada parcial d'ordre respecte del component -èssim del vector , es defineix el següent conjunt d'operadors fraccionals:
Aplicacions del càlcul diferencial Càlcul de màxims, mínims i punts de sella per a camps escalars
miniatura|Funció amb un punt de sella Per saber si un punt és un dels casos anteriors: S'obté S'obté la matriu hessiana d'f. Sigui aquesta . és definida positiva té un mínim local (mínim relatiu) en . és definida negativa té un màxim local (màxim relatiu) en . és indefinida té un punt de sella en .
Aquí, s'ha suposat que és contínua .
Referències
Vegeu també
Camp solenoidal Camp vectorial irrotacional Operador nabla en coordenades cilíndriques i esfèriques Quaternió