En geometria, un paral·lelogram és un quadrilàter els costats oposats del qual són paral·lels. Un paral·lelogram és un cas particular de trapezi. Si els angles d'un paral·lelogram són iguals (en conseqüència, són angles rectes) llavors també és un rectangle. Però si els costats d'un paral·lelogram són d'igual longitud llavors també és un rombe. En canvi si els angles d'un paral·lelogram són iguals i els costats són d'igual longitud llavors també és un quadrat, o si els costats oposats d'un paral·lelogram són d'igual longitud. Els angles de vèrtexs oposats d'un paral·lelogram són iguals. Els angles adjacents d'un paral·lelogram són suplementaris i les diagonals d'un paral·lelogram s'intersecten al seu punt mitjà.
La congruència de costats oposats i angles oposats és una conseqüència directa del postulat de paral·leles euclidianes i cap de les dues condicions es pot demostrar sense recórrer al postulat de paral·leles euclidianes o a una de les seves formulacions equivalents.
L'equivalent tridimensional d'un paral·lelogram és un paral·lelepípede.
La paraula "paral·lelogram" prové del grec παραλληλό-γραμμον, parallēló-grammon, que significa "una forma de línies paral·leles".
Fórmules de mesura L'àrea d'un paral·lelogram es pot calcular a partir de les longituds de la base i de l'altura i val:
El perímetre d'un paral·lelogram de costat de longituds i val:
Casos especials miniatura|Quadrilàters per simetria Romboide – Un paral·lelogram en què els costats adjacents són desiguals i els seus angles no són rectes (i per tant no és ni un rectangle ni un rombe). Aquest terme no s'utilitza en matemàtiques modernes, però sobreviu en alguns contextos de biologia amb noms com ara músculs romboïdals o formes de fulla romboïdals. Rectangle – Un paral·lelogram amb els quatre angles rectes, i costats iguals dos a dos. Rombe – Un paral·lelogram amb els quatre costats iguals i els angles iguals dos a dos. Quadrat – Un paral·lelogram amb els quatre costats d'igual longitud i els angles iguals (angles rectes).
Caracterització Un quadrilàter simple és un paral·lelogram si i només si qualsevol de les següents afirmacions es compleix:Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, p. 51-52.Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 22. Les dues parelles de costats oposats són iguals en longitud. Les dues parelles d'angles són iguals en mesura. Les dues diagonals es biseccionen mútuament. Dos costats oposats són paral·lels i iguals en longitud. Els angles adjacents són suplementaris. Cada diagonal divideix el quadrilàter en dos triangles congruents. La suma dels quadrats dels costats és igual a la suma dels quadrats de les diagonals (això és la llei del paral·lelogram). Té simetria rotacional d'ordre 2. La suma de les distàncies de qualsevol punt interior als costats és independent a la ubicació del punt.Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, p. 390–391. (això és una extensió del teorema de Viviani).
Per tant, tots el paral·lelograms tenen totes les propietats llistades, i vice-versa, si només una de les afirmacions és certa en un quadrilàter simple, llavors és aquest quadrilàter és un paral·lelogram.
Altres propietats Els costats oposats d'un paral·lelogram són paral·lels (per definició) i, per tant, mai es tallaran. L'àrea d'un paral·lelogram és el doble de l'àrea d'un triangle creat per una de les seves diagonals. L'àrea d'un paral·lelogram també és igual a la magnitud del producte vectorial de dos costats adjacents. Qualsevol línia que passi pel punt mig d'un paral·lelogram bisecta l'àrea. Qualsevol transformació afí no degenerada porta un paral·lelogram a un altre paral·lelogram. Un paral·lelogram té una simetria rotacional d'ordre 2 (que passa per 180°) (o d'ordre 4 si és un quadrat). Si també té exactament dues línies de simetria reflexiva, aleshores ha de ser un rombe o un oblong (un rectangle no quadrat). Si té quatre línies de simetria reflexiva, és un quadrat. El perímetre d'un paral·lelogram és 2 (a + b), on a i b són les longituds dels costats adjacents. A diferència de qualsevol altre polígon convex, un paral·lelogram no es pot inscriure en cap triangle amb menys del doble de la seva àrea. Els centres de quatre quadrats construïts internament o externament als costats d'un paral·lelogram són els vèrtexs d'un quadrat. Si es construeixen dues rectes paral·leles als costats d'un paral·lelogram concurrents a una diagonal, aleshores els paral·lelograms formats als costats oposats d'aquesta diagonal tenen la mateixa àrea. Les diagonals d'un paral·lelogram el divideixen en quatre triangles d'igual àrea.
Fórmula de l'àrea miniatura|236x236px| Un paral·lelogram es pot reorganitzar en un rectangle amb la mateixa àrea.
miniatura|180x180px| Animació per a la fórmula de l'àrea .
Totes les fórmules d'àrea per a quadrilàters convexos generals s'apliquen als paral·lelograms. Altres fórmules són específiques per als paral·lelograms:
Un paral·lelogram amb base b i altura h es pot dividir en un trapezoide i un triangle rectangle, i reorganitzar-se en un rectangle, tal com es mostra a la figura de l'esquerra. Això significa que l’àrea d'un paral·lelogram és la mateixa que la d'un rectangle amb la mateixa base i altura:
miniatura|L'àrea del paral·lelogram és l'àrea de la regió blava, que és l'interior del paral·lelogram
La fórmula de la base × l'alçada i l'àrea també es pot derivar utilitzant la figura de la dreta. L'àrea K del paral·lelogram de la dreta (l'àrea blava) és l'àrea total del rectangle menys l'àrea dels dos triangles taronges. L'àrea del rectangle és
i l'àrea d'un sol triangle és
Per tant, l'àrea del paral·lelogram és
Una altra fórmula d'àrea, per a dos costats B i C i un angle θ, és
Sempre que el paral·lelogram sigui un rombe, l'àrea es pot expressar utilitzant els costats B i C i l'angle a la intersecció de les diagonals:
Quan el paral·lelogram s'especifica a partir de les longituds B i C de dos costats adjacents juntament amb la longitud D1 de qualsevol de les diagonals, l'àrea es pot trobar a partir de la fórmula d'Heró. Concretament és
on i el factor principal 2 prové del fet que la diagonal escollida divideix el paral·lelogram en dos triangles congruents.
A partir de coordenades de vèrtex Siguin vectors i deixar denotem la matriu amb elements de a i b. Aleshores, l'àrea del paral·lelogram generat per a i b és igual a .
Siguin vectors i deixar . Aleshores, l'àrea del paral·lelogram generat per a i b és igual a .
Deixa que els punts . Aleshores, l’àrea amb signe del paral·lelogram amb vèrtexs a, b i c és equivalent al determinant d'una matriu construïda utilitzant a, b i c com a files amb l'última columna omplida amb unitats de la manera següent:
Demostració que les diagonals es bisequen entre si Paral·lelogram ABCD Per demostrar que les diagonals d'un paral·lelogram es bisequen entre si, farem servir triangles congruents:
(els angles interiors alterns són iguals en mesura)
(els angles interiors alterns són iguals en mesura).
(ja que aquests són angles que forma una transversal amb les rectes paral·leles AB i DC).
A més, el costat AB té la mateixa longitud que el costat DC, ja que els costats oposats d'un paral·lelogram tenen la mateixa longitud.
Per tant, els triangles ABE i CDE són congruents (postulat ASA, dos angles corresponents i el costat inclòs).
Per tant,
Com que les diagonals AC i BD es divideixen en segments de la mateixa longitud, les diagonals es bisequen.
Per separat, com que les diagonals AC i BD es bisequen en el punt E, el punt E és el punt mig de cada diagonal.
Xarxa de paral·lelograms Els paral·lelograms poden tessel·lar el pla per translació. Si les arestes són iguals o els angles són rectes, la simetria de la xarxa és més alta. Aquests representen les quatre xarxes de Bravais en 2 dimensions.
+Reixes Formulari Quadrat Rectangle Rombe Romboide Sistema Quadrat (tetragonal) Rectangular (ortorròmbic) Rectangular centrat (ortorròmbic) Oblic (monoclínic) Restriccions α=90°, a=b α=90° a=b Cap Simetria p4m, [4,4], ordre 8 n pmm, [∞,2,∞], ordre 4 n p1, [∞ +,2,∞ + ], ordre 2 n Formulari160x160px160x160px160x160px160x160px
Paral·lelograms derivats d'altres figures Triangle automedià Un triangle automediani és aquell les medianes del qual tenen les mateixes proporcions que els seus costats (encara que en un ordre diferent). Si ABC és un triangle automedià en què el vèrtex A es troba oposat al costat a, G és el baricentre (on les tres medianes d’ABC es tallen), i AL és una de les medianes esteses d’ABC amb L situada sobre la circumferència circumscrita d’ABC, aleshores BGCL és un paral·lelogram.
Paral·lelogram de Varignon miniatura|Demostració sense paraules del teorema de Varignon El teorema de Varignon sosté que els punts mitjans dels costats d'un quadrilàter arbitrari són els vèrtexs d'un paral·lelogram, anomenat paral·lelogram de Varignon. Si el quadrilàter és convex o còncau (és a dir, no es talla a si mateix), aleshores l'àrea del paral·lelogram de Varignon és la meitat de l'àrea del quadrilàter.
Prova sense paraules (vegeu la figura):
Un quadrilàter arbitrari i les seves diagonals. Les bases dels triangles semblants són paral·leles a la diagonal blava. El mateix passa amb la diagonal vermella. Els parells de bases formen un paral·lelogram amb la meitat de l'àrea del quadrilàter, Aq, com a suma de les àrees dels quatre triangles grans, A l, és 2 A q (cadascun dels dos parells reconstrueix el quadrilàter), mentre que la dels triangles petits, A s, és un quart d’A l (la meitat de les dimensions lineals dóna un quart d'àrea), i l'àrea del paral·lelogram és A q menys A s.
Paral·lelogram tangent d'una el·lipse Per a una el·lipse, es diu que dos diàmetres són conjugats si i només si la recta tangent a l'el·lipse en un extrem d'un diàmetre és paral·lela a l'altre diàmetre. Cada parell de diàmetres conjugats d'una el·lipse té un paral·lelogram tangent corresponent, de vegades anomenat paral·lelogram delimitador, format per les línies tangents a l'el·lipse en els quatre extrems dels diàmetres conjugats. Tots els paral·lelograms tangents d'una el·lipse donada tenen la mateixa àrea.
És possible reconstruir una el·lipse a partir de qualsevol parell de diàmetres conjugats o de qualsevol paral·lelogram tangent.
Cares d'un paral·lelepípede Un paral·lelepípede és una figura tridimensional les sis cares de la qual són paral·lelograms.
Referències
Bibliografia