+Alguns políedres120px|DodecàedreDodecàedre(Políedre platònic)120px|Petit dodecàedre estelatPetit dodecàedre estelat(Políedre de Kepler-Poinsot)120px|IcosidodecàedreIcosidodecàedre(Políedre arquimedià)120px|Prisma estelat Prisma estelat(Políedre uniforme estelat)120px|Triacontàedre ròmbicTriacontàedre ròmbic(Políedre de Catalan)120px|HebesfenomegacoronaHebesfenomegacorona(Políedre de Johnson) Un políedre és un cos geomètric, la superfície del qual es compon d'una quantitat finita de polígons plans. Els seus elements notables són la cara o faceta que és la porció de pla que limita el cos, l'aresta on es troben dues cares, i el vèrtex on es troben tres o més arestes. Encara que sempre s'ha concebut el políedre com un cos de tres dimensions, també hi ha semblants topològics en qualsevol dimensió; per exemple, el polígon és el semblant topològic de dues dimensions del políedre. Totes aquestes formes són conegudes com a polítops.
La paraula políedre deriva del grec πολύεδρον (πολύς, polís = "molts" i ἕδρα, hédra = "seient, cara"). Molts objectes microscòpics naturals (molècules, protozous, virus, etc.) tenen una forma o simetria polièdrica. Els cristalls es poden presentar d'aquesta forma, fins i tot a escala microscòpica.
Nocions bàsiques En matemàtiques no hi ha una definició única de políedre.El problema s'aborda des d'una perspectiva històrica i matemàtica a Una definició molt general és la següent: Un políedre és la unió d'un nombre finit de polígons en l'espai, que es troben per parelles en els seus costats. En altres paraules, cadascun dels costats de cadascun d'aquests polígons coincideix exactament amb un costat d'un altre polígon. En el cas més estudiat, els polígons formen una superfície que delimita una zona sòlida de l'espai: en aquest cas per políedre s'entén aquest sòlid i no només dels polígons que delimiten la seva superfície.
En els llibres de text la definició formal de "políedre" s'acompanya sovint d'altres hipòtesis tècniques afegides, dissenyades per excloure alguns casos considerats "patològics". Per exemple,Michlmayr (1999), pàg. 65 es defineix una superfície polièdrica com un nombre finit de polígons a l'espai de tal manera que: la intersecció de les dues cares és buida o és una aresta o un vèrtex; cada aresta pertany precisament a dues cares; dues cares adjacents no són coplanàries; fixat un vèrtex i dues cares incidents a , existeix una cadena de cares que conté tal que , i és adjacent a per a cada .
L'elecció de les hipòtesis tècniques afegides no és única i depèn en gran manera de l'elecció de l'autor. Els supòsits enumerats aquí, respectivament, estan dissenyats per impedir que: dues cares s'intersequin a l'interior (cosa que en canvi s'ha d'acceptar si es volen considerar políedres cossos geomètrics com els políedres de Kepler-Poinsot, que s'explicaran en aquest article); una aresta pertanyi a 4, 6 o més cares, com en la unió de dos políedres que s'intersequen en una aresta; dues cares se superposin, o que existeixin arestes "falses" amb angle díedre de 180°; un vèrtex que pertanyi localment a 2 o més objectes diferents, com en la unió de dos políedres que s'intersequen en un únic vèrtex.
Cara miniatura|Un cub té 6 cares quadrades, 12 arestes i 8 vèrtexs. Els polígons són les cares del políedre. Les cares poden tenir les formes més diverses: poden ser totes congruents (és a dir iguals tret de translacions, rotacions i simetries) com en el cub, tenir sempre el mateix nombre de costats, sense haver de ser congruents, com en el cas més genèric d'un paral·lelepípede, o poden tenir un nombre de costats variable com en un prisma de base no rectangular o una piràmide de base no triangular.
Aresta Els costats de les cares són les arestes del políedre. Per definició, una aresta pertany simultàniament a dues cares i la seva magnitud més representativa és la longitud. Un políedre pot tenir arestes de longitud constant (com en el cub) o variable.
Les dues cares que toquen una aresta formen un angle, angle díedre que, en general, varia d'aresta en aresta, però que pot tenir un valor constant en alguns políedres; per exemple, en el cub forma un angle recte, mentre que en el tetràedre és aproximadament de 70° 32′. miniatura|esquerra|120px|La piràmide de base quadrada té un vèrtex on conflueixen quatre arestes i quatre vèrtexs on n'hi conflueixen tres arestes.
Vèrtex Els vèrtexs de les cares (és a dir, els extrems dels costats) són els vèrtexs del políedre. Cada vèrtex pertany almenys a tres cares diferents. El nombre n de cares a les quals pertany també és igual al nombre d'arestes que toca.
Adjacència i incidència miniatura|En el tetraedre dues cares qualssevol són sempre adjacents. S'anomenen vèrtexs adjacents del políedre dos vèrtexs que són extrems comuns d'una aresta; s'anomenen arestes adjacents del políedre a les que tenen un vèrtex en comú; s'anomenen cares adjacents del políedre a les cares que tenen una aresta en comú. Cadascuna de les tres relacions d'adjacència entre els vèrtexs, les arestes i les cares d'un políedre és clarament una relació simètrica. Per exemple, en un tetraedre dos vèrtexs i dues cares són sempre adjacents, mentre que una aresta és adjacent a totes les altres arestes tret d'una: l'aresta oposada.
Per fixar la terminologia, s'introdueixen també tres relacions d'incidència. S'anomenen incidents: un vèrtex i l'aresta de la qual el vèrtex n'és extrem; un vèrtex i una cara de la qual el vèrtex en forma part; una aresta i una cara de la qual l'aresta n'és un costat.
Quantitat de cares, arestes i vèrtexs miniatura|Un hexàedre. Per a cada C superior o igual a 4 existeix un políedre amb C cares. Una primera classificació dels políedres es fa sobre la base del nombre de les seves cares: els políedres de 4, 5, 6, 7, 8 ... 12 ... 20 ... cares poden ser anomenats, respectivament, tetraedre, pentaedre, hexaedre, heptàedre, octaedre, ... dodecaedre, ... icosaedre, ... d'acord amb el prefix grec corresponent al nombre de polígons utilitzats. Però els noms octaedre, dodecaedre i icosàedre, generalment es reserven a tres políedres molt específics i no genèrics d'un políedre amb 8, 12 i 20 cares: són tres dels 5 sòlids platònics.
El nombre de cares, arestes i vèrtexs d'un políedre forma una tríada de nombres indicada amb . El tetraedre és el políedre més petit, en el sentit que té 4 cares, 6 d'arestes i 4 vèrtexs, mentre que tots els altres políedres tenen , , .
Altres nocions Convexitat miniatura|L'estel octangle és un políedre no convex. Un políedre convex és un políedre que materialitza un sòlid convex. Aquesta condició es pot expressar de diverses maneres equivalents. Per a cada parell de punts del sòlid, el segment que els uneix està totalment contingut en el sòlid (aquesta és la definició habitual de conjunt convex en l'espai);Aquest segment de vegades s'anomena diàmetre del políedre; una altra definició de diàmetre d'un políedre és qualsevol segment que tingui els extrems en vèrtexs, arestes, o cares del políedre i els altres punts a l'interior del sòlid. El pla que conté cadascuna de les cares divideix l'espai en dos semiespais, i el políedre està totalment contingut en un d'aquests semiespais. Un políedre que no és convex, de vegades es diu que és còncau.
Els políedres més coneguts són políedres convexos. Si bé la definició general d'un políedre varia segons l'autor, hi ha una definició d'un políedre convex universalment acceptada pels matemàtics, que es descriu a continuació. Un semiespai és una de les dues parts de l'espai delimitada per un pla.
Un políedre convex és una zona limitada de l'espai obtinguda com la intersecció d'un nombre finit de semiespais.
A partir d'aquesta definició, es pot definir la cara com els polígons obtinguts intersecant el políedre amb els plans que delimiten aquest semiespai. Per exemple, el cub és un políedre convex amb 8 cares i es pot obtenir com la intersecció de 8 semiespais, delimitat pels plans que contenen les cares.
Esquelet miniatura|Model d'esquelet d'un políedre a l'espai. Els vèrtexs i les arestes d'un políedre formen un graf, anomenat esquelet del políedre. Per exemple, l'esquelet del tetraedre és un graf complet amb 4 vèrtexs.
L'esquelet d'un políedre convex és un graf pla: De fet, es pot projectar el graf a partir d'un punt intern qualsevol del políedre sobre una esfera centrada en el punt, i després en el pla, a través d'una projecció estereogràfica. El graf d'un políedre més complex pot no ser pla.
Desenvolupament pla
miniatura|esquerra|El dodecaedre… miniatura|... i un dels seus desenvolupaments. El desenvolupament pla d'un políedre és una figura plana que consta d'un nombre de polígons connectats al llarg d'alguns costats, que pot ser plegat en l'espai de forma que es tanca i forma el políedre. El desenvolupament pla és una eina pràctica útil per a la construcció de políedres de paper.
Qualsevol políedre convex es pot construir a partir d'un desenvolupament pla. El mateix políedre pot ser construït a partir de diferents desenvolupaments plans: el conjunt de polígons presents és sempre el mateix (són les cares de políedre), però la figura que formen pot ser diferent.Un desenvolupament es determina a partir de l'arbre màxim del graf del políedre format per les arestes que estan enganxades a la clausura. Arbres diferents poden donar lloc a diversos desenvolupaments.
Estructura combinatòria i mètrica miniatura|Un paral·lelepípede té sempre la mateixa estructura combinatòria, al prescindir de les longituds dels costats i dels angles que formen. Lestructura combinatòria d'un políedre és el conjunt dels seus vèrtexs, arestes i cares i les relacions d'incidència entre ells. En canvi, lestructura mètrica d'un políedre és l'estructura del políedre com a espai mètric, és a dir, com a espai dotat de distància entre els punts.
Una rotació al voltant d'un eix o una translació deixen sense canvis les estructures mètrica i combinatòria d'un políedre. Una dilatació transforma l'estructura mètrica (per exemple, ja que modifica les distàncies entre els vèrtexs), però deixa sense canvis l'estructura combinatòria. Més en general, l'estructura combinatòria és més flexible: per exemple, dos paral·lelepípedes tenen la mateixa estructura combinatòria, però no necessàriament la mateixa estructura mètrica.
La tríada (V, A, C) dona una bona descripció de l'estructura combinatòria del políedre. Però la descripció no és completa, perquè no conté tota la informació sobre les adjacències. Una informació afegida és el nombre d'arestes incidents als vèrtexs.
Propietats topològiques Les propietats topològiques d'un políedre són les que descriuen només la forma global. Els políedres més estudiats (per exemple, els convexos), tenen tots la mateixa forma topològica: són «topològicament equivalents» a una bola, aquests políedres s'anomenen simples. Per als políedres simples es verifica una fórmula que és important: la relació d'Euler.
Topologia de la superfície miniatura|esquerra|El gran icosàedre té 20 cares triangulars que s'entrecreuen entre si. La superfície d'un políedre és la unió dels seus costats. En alguns casos, com en el gran icosàedre que es mostra a la imatge, aquestes cares poden entrecreuar-se i formar una figura complicada. Quan això succeeix, pot ser que no sigui clar quina és la porció sòlida de l'espai a considerar realment "compresa" dins de les cares. Aquest fenomen és similar al que succeeix en dimensió 2 en els polígons estelats.