El càlcul, conegut als inicis de la seva història com a càlcul infinitesimal, és una disciplina matemàtica centrada en límits, continuïtat, derivades, integrals i sèries infinites. Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz van desenvolupar de manera independent la teoria del càlcul infinitesimal al final del segle XVII; tant Leibniz com Newton van afirmar que l'altre li havia robat l'obra, i la controvèrsia del càlcul Leibniz-Newton va continuar fins a la mort de Leibniz el 1716.
Pioners del càlcul Antiguitat miniatura|Arquímedes va utilitzar el mètode d'exhaustió per computar l'àrea dins un cercle. L’època antiga va introduir algunes de les idees que van conduir al càlcul integral, però sembla que aquestes idees no es varen desenvolupar de manera rigorosa i sistemàtica. Càlculs de volums i àrees, un dels objectius del càlcul integral, s'hi poden trobar al papir egipci de Moscou (cap al 1820 aC), però les fórmules només es donen per a nombres concrets, algunes només són aproximadament certes i no es deriven per raonaments deductius. Els babilonis poden haver descobert la regla trapezoïdal mentre feien observacions astronòmiques de Jupiter.
De l'època de les matemàtiques gregues, Èudox (cap al 408-355 aC) va utilitzar el mètode d'exhaustió, que presagia el concepte de límit, per calcular àrees i volums, mentre que Arquimedes (cap al 287-212 aC) va desenvolupar aquesta idea més enllà, inventant heurístiques que s'assemblen als mètodes de càlcul integral.Archimedes, Method, in The Works of Archimedes Als matemàtics grecs també se'ls atribueix un ús significatiu d'infinitesimals. Demòcrit va ser la primera persona que va considerar seriosament la divisió d'objectes a un número infinit, però la seva incapacitat per racionalitzar seccions transversals discretes amb un pendent suau d'un con li va impedir acceptar la idea. Aproximadament al mateix temps, Zenó d'Elea va desacreditar encara més els infinitesimals en articular les paradoxes que creen.
Arquimedes va desenvolupar aquest mètode encara més, tot inventant mètodes heurístics que s'assemblen una mica als conceptes moderns amb «la quadratura de la paràbola», «el mètode» i «sobre l'esfera i el cilindre».MathPages — Archimedes on Spheres & Cylinders No s'ha de pensar, però, que els infinitesimals van basar-se rigorosament durant aquest temps. Els matemàtics grecs acceptarien una proposició com a veritable només quan es complementara amb una prova geomètrica adequada. No va ser fins al segle XVII que Cavalieri va formalitzar el mètode com a mètode d'indivisibles que finalment va ser incorporat per Newton a un marc general de càlcul integral. Arquimedes va ser el primer a trobar la tangent a una corba que no fóra un cercle, amb un mètode semblant al càlcul diferencial. Mentre estudiava l'espiral, va separar el moviment d'un punt en dos components, un component de moviment radial i un component de moviment circular, i després va continuar sumant els dos moviments de components junts, trobant així la tangent a la corba. Els pioners del càlcul com Isaac Barrow i Johann Bernoulli van ser estudiants diligents d'Arquimedes.
Liu Hui va reinventar el mètode d'exhaustió a la Xina al per trobar l'àrea d'un cercle., Chapter, p. 279 Al , Zu Chongzhi va establir un mètode que més tard s'anomenaria principi de Cavalieri per trobar el volum d'una esfera. Extract of page 27
Medieval A l'Orient Mitjà islàmic, el matemàtic àrab Ibn al-Hàytham (Alhazen) del segle XI va derivar una fórmula per a la suma de les quartes potències. Va utilitzar els resultats per dur a terme el que ara s'anomenaria una integració, on les fórmules per a les sumes de quadrats integrals i quartes potències li permetien calcular el volum d'un paraboloide.Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163-174. Al , el matemàtic persa Xàraf-ad-Din at-Tussí va descobrir la derivada dels polinomis cúbics.J. L. Berggren (1990), "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304-9 El seu tractat sobre equacions va desenvolupar conceptes relacionats amb el càlcul diferencial, com ara la funció derivada i els màxims i mínims de corbes, per tal de resoldre equacions cúbiques que poden no tenir solucions positives.
Algunes idees sobre càlcul van aparèixer més tard a les matemàtiques índies, a l'escola d'astronomia i matemàtiques de Kerala.Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163-174. Madhava de Sangamagrama al , i més tard matemàtics de l'escola de Kerala, van declarar components del càlcul com la sèrie de Taylor i aproximacions de sèries infinites. No obstant això, no van ser capaços de combinar moltes idees diferents en els dos temes unificadors de la derivada i la integral, mostrar la connexió entre els dos i convertir el càlcul en la potent eina de resolució de problemes que tenim avui en dia.
L'estudi matemàtic de la continuïtat va ser recuperat al per les calculadores d'Oxford i col·laboradors francesos com Nicolau Oresme. Van demostrar el "teorema de la velocitat mitjana de Merton": que un cos uniformement accelerat recorre la mateixa distància que un cos amb velocitat uniforme la velocitat de la qual és la meitat de la velocitat final del cos accelerat.
Modernitat Al , els matemàtics europeus Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis i altres van discutir la idea de derivada. En particular, a «Methodus anunci disquirendam maximam et minimus» i a «De tangentibus linearum curvarum», Fermat va desenvolupar un mètode d'adequació per determinar màxims, mínims i tangents a diverses corbes que estava estretament relacionat amb la diferenciació. Isaac Newton més tard escriuria que les seves primeres idees sobre càlcul provenien directament de la «manera de dibuixar tangents de Fermat».
Per la part de les integrals, Cavalieri va desenvolupar el seu mètode d'indivisibles a la dècada de 1630 i 1640, proporcionant una forma més moderna de l'antic mètode grec d'exhaustió i calculà la fórmula de quadratura de Cavalieri, l'àrea sota les corbes xn de grau superior, que anteriorment només havia estat calculada en la paràbola, per Arquímedes. Torricelli va estendre aquest treball a altres corbes com la cicloide, i després la fórmula es va generalitzar a potències fraccionades i negatives per Wallis el 1656. En un tractat de 1659, Fermat té un enginyós truc per avaluar directament la integral de qualsevol funció de potència. Fermat també va obtenir una tècnica per trobar els centres de gravetat de diverses figures planes i sòlides, cosa que va influir en el treball posterior en quadratura. James Gregory, influït per les contribucions de Fermat tant en la tangència com en la quadratura, va poder demostrar una versió restringida del segon teorema fonamental del càlcul a mitjan segle .See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114. La primera prova completa del teorema fonamental del càlcul va ser donada per Isaac Barrow. Translator: J. M. Child (1916)Review of J.M. Child's translation (1916) The geometrical lectures of Isaac Barrow reviewer: Arnold Dresden (Jun 1918) p.454 Barrow has the fundamental theorem of calculus
miniatura|Àrea ombrejada d'una unitat mesura quadrada quan x = 2.71828... La descoberta del número d'Euler , i la seva explotació amb funcions x i logaritme natural, va completar teoria d'integració per càlcul de funcions racionals.
Un requisit previ per a l'establiment d'un càlcul de funcions d'una variable real implicava trobar una antiderivada per a la funció racional Aquest problema es pot redactar com a quadratura de la hipèrbola rectangular . El 1647 Grégoire de Saint-Vincent va assenyalar que la funció requerida complia, de manera que una progressió geomètrica es va convertir, sota , en una progressió aritmètica. Alfonso Antonio de Sarasa va associar aquesta característica amb algorismes contemporanis anomenats logaritmes que economitzaven l'aritmètica convertint les multiplicacions en addicions. Per tant, va ser conegut per primera vegada com el logaritme hiperbòlic. Després que Euler fera ús d', i es va identificar com la funció inversa de la funció exponencial, es va convertir en el logaritme natural, que satisfà
La primera prova del teorema de Rolle la va donar Michel Rolle el 1691 mitjançant mètodes desenvolupats pel matemàtic holandès Johann van Waveren Hudde., Chapter 4, p. 333 El teorema del valor mitjà en la seva forma moderna fou afirmat per Bernard Bolzano i Augustin Louis Cauchy després de la creació del càlcul modern. Barrow, Huygens i molts altres també van fer importants contribucions.
Newton i Leibniz miniatura|Isaac Newton miniatura|Gottfried Leibniz
Abans de Newton i Leibniz, la paraula «càlcul» feia referència a qualsevol conjunt de matemàtiques, però en els anys següents, «càlcul» es va convertir en un terme popular per a un camp de les matemàtiques basat en els seus coneixements. Newton i Leibniz, basant-se en aquest treball, van desenvolupar de manera independent la teoria al voltant del càlcul infinitesimal a finals del . A més, Leibniz va fer molta feina desenvolupant conceptes i notacions consistents i útils. Newton va proporcionar algunes de les aplicacions més importants a la física, especialment del càlcul integral. El propòsit d'aquesta secció és examinar les investigacions de Newton i Leibniz sobre el camp en desenvolupament del càlcul infinitesimal. Es donarà una importància específica als termes justificatius i descriptius que van utilitzar per intentar entendre el càlcul tal com el van concebre ells mateixos.
A mitjan , les matemàtiques europees havien canviat el punt principal de coneixement. En comparació amb el segle passat que va mantenir les matemàtiques hel·lenístiques com a punt de partida per a la investigació, Newton, Leibniz i els seus contemporanis van mirar cada cop més cap a les obres de pensadors més moderns.Com Kepler, Descartes, Fermat, Pascal i Wallis. Europa s'havia convertit en el lloc d'una creixent comunitat matemàtica i amb l'arribada de nous fonaments institucionals i organitzatius millorats s'estava assolint un nou nivell d'organització i integració acadèmica. És important destacar, però, que la comunitat no tenia formalisme; en canvi, consistia en una massa desordenada de diversos mètodes, tècniques, notacions, teories, i paradoxes.
Newton va arribar al càlcul com a part de les seves investigacions en física i geometria. Va veure el càlcul com la descripció científica de la generació de moviment i magnituds. En comparació, Leibniz es va centrar en el problema tangent i va arribar a creure que el càlcul era una explicació metafísica del canvi. És important destacar que el nucli de la seva visió era la formalització de les propietats inverses entre la integral i el diferencial d'una funció. Aquesta idea havia estat anticipada pels seus predecessors, però van ser els primers a concebre el càlcul com un sistema en el qual es van crear nous termes retòrics i descriptius.El més destacat era Barrow que havia creat fórmules per a casos específics i Fermat que va crear una definició similar per a la derivada. Per a més informació; Boyer 184. Els seus descobriments únics no només radiquen en la seva imaginació, sinó també en la seva capacitat per sintetitzar les idees que els envolten en un procés algorítmic universal, i va formar així un sistema matemàtic nou.
Newton