La indeterminació quàntica és la incompletesa aparent i necessària en la descripció d'un sistema físic, que s'ha convertit en una de les característiques de la descripció estàndard de la física quàntica. Abans de la física quàntica, es pensava que
a. un sistema físic tenia un estat determinat que determinava de manera única tots els valors de les seves propietats mesurables i,
b. a l'inrevés, els valors de les seves propietats mesurables determinaven de manera única l'estat.
La indeterminació quàntica es pot caracteritzar quantitativament mitjançant una distribució de probabilitat sobre el conjunt de resultats de les mesures d'un observable. La distribució està determinada de manera única per l'estat del sistema i, a més, la mecànica quàntica proporciona una recepta per calcular aquesta distribució de probabilitat.
La indeterminació en la mesura no va ser una innovació de la mecànica quàntica, ja que els experimentals havien establert des del principi que els errors en la mesura poden conduir a resultats indeterminats. A la segona meitat del segle XVIII, els errors de mesura eren ben coneguts i se sabia que es podien reduir amb millors equips o tenir-los en compte mitjançant models d'error estadístics. En mecànica quàntica, però, la indeterminació és d'una naturalesa molt més fonamental, que no té res a veure amb errors o pertorbacions.
Mesura Una explicació adequada de la indeterminació quàntica requereix una teoria de la mesura. S'han proposat moltes teories des dels inicis de la mecànica quàntica i la mesura quàntica continua sent una àrea de recerca activa tant en la física teòrica com en la experimental. Possiblement, el primer intent sistemàtic de teoria matemàtica va ser desenvolupat per John von Neumann. Els tipus de mesures que va investigar ara s'anomenen mesures projectives. Aquesta teoria es basava al seu torn en la teoria de mesures amb valor de projecció per a operadors autoadjunts que havia estat desenvolupada recentment (per von Neumann i independentment per Marshall Stone) i la formulació de l'espai de Hilbert de la mecànica quàntica (atribuïda per von Neumann a Paul Dirac).
En aquesta formulació, l'estat d'un sistema físic correspon a un vector de longitud 1 en un espai de Hilbert H sobre els nombres complexos. Un observable es representa mitjançant un operador autoadjunt (és a dir, hermitià) A sobre H. Si H és de dimensió finita, pel teorema espectral, A té una base ortonormal de vectors propis. Si el sistema es troba en l'estat ψ, immediatament després de la mesura, el sistema ocuparà un estat que és un vector propi e d' A i el valor observat λ serà el valor propi corresponent de l'equació . D'això es dedueix immediatament que la mesura en general serà no determinista. La mecànica quàntica, a més, dona una recepta per calcular una distribució de probabilitat Pr sobre els possibles resultats donat que l'estat inicial del sistema és ψ. La probabilitat és on E ( λ) és la projecció sobre l'espai dels vectors propis d' A amb valor propi λ.
Exemple marc|Esfera de Bloch que mostra vectors propis per a matrius d'espín de Pauli. L'esfera de Bloch és una superfície bidimensional els punts de la qual corresponen a l'espai d'estats d'una partícula d'espín 1/2. A l'estat ψ els valors de σ 1 són +1 mentre que els valors de σ 2 i σ 3 prenen els valors +1, −1 amb probabilitat 1/2. En aquest exemple, considerem una partícula d'espín 1/2 (com ara un electró) en què només considerem el grau de llibertat d'espín. L'espai de Hilbert corresponent és l'espai de Hilbert complex bidimensional C₂, on cada estat quàntic correspon a un vector unitari a C₂ (únic fins a la fase). En aquest cas, l'espai d'estats es pot representar geomètricament com la superfície d'una esfera, tal com es mostra a la figura de la dreta.
Les matrius de Pauli tenen totes els valors propis +1, −.
Per a σ 1, aquests valors propis corresponen als vectors propis Per a σ3, corresponen als vectors propis
Així, a l'estat σ₁ té el valor determinat +1, mentre que la mesura de σ₃ pot produir +1, − cadascun amb probabilitat 1/2. De fet, no hi ha cap estat en què la mesura de σ₁ i σ₃ tinguin valors determinats.
Es pot interpretar l'aparent indeterminació com a determinista, però dependent de quantitats no modelades en la teoria actual, que per tant seria incompleta? Més precisament, hi ha variables ocultes que podrien explicar la indeterminació estadística d'una manera completament clàssica? Es pot entendre la indeterminació com una pertorbació del sistema que es mesura?
Von Neumann va formular la pregunta 1) i va proporcionar un argument per què la resposta havia de ser no, si s'acceptava el formalisme que proposava. Tanmateix, segons Bell, la demostració formal de von Neumann no justificava la seva conclusió informal. S'ha establert experimentalment una resposta negativa definitiva però parcial a 1): com que es violen les desigualtats de Bell, qualsevol variable oculta d'aquest tipus no pot ser local (vegeu Experiments de la prova de Bell).
La resposta a 2) depèn de com s'entén la pertorbació, sobretot perquè la mesura implica pertorbació (tanmateix, cal tenir en compte que aquest és l'efecte de l'observador, que és diferent del principi d'incertesa). Tot i això, en la interpretació més natural la resposta també és no. Per veure-ho, considereu dues seqüències de mesures: (A) que mesura exclusivament σ1 i (B) que mesura només σ3 d'un sistema d'espín en l'estat ψ. Els resultats de la mesura de (A) són tots +1, mentre que la distribució estadística de les mesures (B) encara es divideix entre +1, − 1 amb la mateixa probabilitat.
Altres exemples d'indeterminació La indeterminació quàntica també es pot il·lustrar en termes d'una partícula amb un moment mesurat definitivament per a la qual hi ha d'haver un límit fonamental a la precisió amb què es pot especificar la seva ubicació. Aquest principi d'incertesa quàntica es pot expressar en termes d'altres variables, per exemple, una partícula amb una energia mesurada definitivament té un límit fonamental a la precisió amb què es pot especificar quant de temps tindrà aquesta energia. La magnitud implicada en la incertesa quàntica és de l'ordre de la constant de Planck 6.626 6.62607015 × 10−34 J⋅Hz−1 ).
Indeterminació i incompletesa La indeterminació quàntica és l'afirmació que l'estat d'un sistema no determina una col·lecció única de valors per a totes les seves propietats mesurables. De fet, segons el teorema de Kochen-Specker, en el formalisme de la mecànica quàntica és impossible que, per a un estat quàntic donat, cadascuna d'aquestes propietats mesurables (observables) tingui un valor determinat (nítid). Els valors d'un observable s'obtindran de manera no determinista d'acord amb una distribució de probabilitat que està determinada de manera única per l'estat del sistema. Cal tenir en compte que l'estat es destrueix mitjançant la mesura, de manera que quan ens referim a una col·lecció de valors, cada valor mesurat d'aquesta col·lecció s'ha d'obtenir utilitzant un estat recentment preparat.
Aquesta indeterminació es podria considerar com una mena d'incompletesa essencial en la nostra descripció d'un sistema físic. Cal tenir en compte, però, que la indeterminació esmentada anteriorment només s'aplica als valors de les mesures, no a l'estat quàntic. Per exemple, en l'exemple d'espín 1/2 que s'ha comentat anteriorment, el sistema es pot preparar en l'estat ψ utilitzant la mesura de σ1 com a filtre que només reté les partícules de manera que σ1 doni +1. Segons els postulats (anomenats) de von Neumann, immediatament després de la mesura el sistema es troba segurament en l'estat ψ.
Tanmateix, Albert Einstein creia que l'estat quàntic no podia ser una descripció completa d'un sistema físic i, es pensa habitualment, mai va arribar a un acord amb la mecànica quàntica. De fet, Einstein, Boris Podolsky i Nathan Rosen van demostrar que si la mecànica quàntica és correcta, aleshores la visió clàssica de com funciona el món real (almenys després de la relativitat especial) ja no és sostenible. Aquesta visió incloïa les dues idees següents:
Una propietat mesurable d'un sistema físic, el valor del qual es pot predir amb certesa, és en realitat un element de la realitat (local) (aquesta era la terminologia utilitzada per EPR). Els efectes de les accions locals tenen una velocitat de propagació finita.
Aquest fracàs de la visió clàssica va ser una de les conclusions de l'experiment mental EPR en què dos observadors situats remotament, ara comunament anomenats Alice i Bob, van obtenir mesures independents de l'espín en un parell d'electrons, preparats en una font en un estat especial anomenat estat singlet d'espín. Una conclusió de l'EPR, utilitzant l'aparell formal de la teoria quàntica, va ser que un cop Alice va mesurar l'espín en la direcció x, la mesura de Bob en la direcció x es va determinar amb certesa, mentre que immediatament abans de la mesura d'Alice, el resultat de Bob només es va determinar estadísticament. D'això es dedueix que o bé el valor de l'espín en la direcció x no és un element de la realitat o bé que l'efecte de la mesura d'Alice té una velocitat de propagació infinita.
Indeterminació per a estats mixtos Hem descrit la indeterminació per a un sistema quàntic que es troba en estat pur. Els estats mixtos són un tipus d'estat més general obtingut per una barreja estadística d'estats purs. Per als estats mixtos, la "recepta quàntica" per determinar la distribució de probabilitat d'una mesura es determina de la següent manera:
Sigui A un observable d'un sistema quàntic. A ve donat per un operador autoadjunt densament definit sobre H. La mesura espectral d'A és una mesura amb valor de projecció definida per la condició
per a cada subconjunt de Borel U de R. Donat un estat mixt S, introduïm la distribució de A sota S de la següent manera:
Aquesta és una mesura de probabilitat definida sobre els subconjunts de Borel de R, que és la distribució de probabilitat obtinguda mesurant A en S.
Independència lògica i aleatorietat quàntica La indeterminació quàntica sovint s'entén com a informació (o la manca d'aquesta) l'existència de la qual inferim, que es produeix en sistemes quàntics individuals, abans de la mesura. L'aleatorietat quàntica és la manifestació estadística d'aquesta indeterminació, presenciable en els resultats d'experiments repetits moltes vegades. Tanmateix, la relació entre la indeterminació quàntica i l'aleatorietat és subtil i es pot considerar de manera diferent.
En física clàssica, els experiments d'atzar, com ara llançar monedes i daus, són deterministes, en el sentit que un coneixement perfecte de les condicions inicials faria que els resultats fossin perfectament predictibles. L'"aleatorietat" prové de la ignorància de la informació física en el llançament o la tirada inicial. En contrast diametral, en el cas de la física quàntica, els teoremes de Kochen i Specker , les desigualtats de John Bell i les proves experimentals d'Alain Aspect indiquen que l'aleatorietat quàntica no prové de cap d'aquestes informacions físicas.
El 2008, Tomasz Paterek et al. van proporcionar una explicació en informació matemàtica. Van demostrar que l'aleatorietat quàntica és, exclusivament, el resultat d'experiments de mesurament la configuració d'entrada dels quals introdueix independència lògica en els sistemes quàntics.
La independència lògica és un fenomen ben conegut en lògica matemàtica. Es refereix a la connectivitat lògica nul·la que existeix entre proposicions matemàtiques (en el mateix llenguatge) que ni es proven ni es refuten mútuament.