L'estadística fotònica és l'estudi teòric i experimental de les distribucions estadístiques produïdes en experiments de recompte de fotons, que utilitzen fotodetectors per analitzar la naturalesa estadística intrínseca dels fotons en una font de llum. En aquests experiments, la llum incident sobre el fotodetector genera fotoelectrons i un comptador registra polsos elèctrics generant una distribució estadística del recompte de fotons. Les fonts de llum dispars de baixa intensitat es poden diferenciar per les distribucions estadístiques corresponents produïdes en el procés de detecció.
Es poden obtenir tres règims de distribucions estadístiques en funció de les propietats de la font de llum: poissoniana, superpoissoniana i subpoissoniana.M. Fox, Quantum Optics: An Introduction, Oxford University Press, New York, 2006 Els règims es defineixen per la relació entre la variància i el nombre mitjà de recomptes de fotons per a la distribució corresponent. Tant la llum poissoniana com la superpoissoniana es poden descriure mitjançant una teoria semiclàssica en què la font de llum es modela com una ona electromagnètica i l'àtom es modela segons la mecànica quàntica. En canvi, la llum subpoissoniana requereix la quantització del camp electromagnètic per a una descripció adequada i, per tant, és una mesura directa de la naturalesa particulada de la llum.
Llum poissoniana En la teoria electromagnètica clàssica, una font de llum ideal amb intensitat constant es pot modelar mitjançant una ona electromagnètica espacialment i temporalment coherent d'una sola freqüència. Aquesta font de llum es pot modelar mitjançantM. Fox, Quantum Optics: An Introduction, Oxford University Press, New York, 2006
on és la freqüència del camp i és un canvi de fase independent del temps.
L'anàleg en mecànica quàntica és l'estat coherentM. Fox, Quantum Optics: An Introduction, Oxford University Press, New York, 2006
Projectant l'estat coherent sobre l'estat de Fock , podem trobar la probabilitat de trobar fotons utilitzant la regla de Born, que dóna
El resultat anterior és una distribució poissoniana amb variància que és una característica distintiva de l'estat coherent.
Llum superpoissoniana La llum governada per estadístiques superpoissonianes presenta una distribució estadística amb variància Un exemple de llum que presenta estadístiques superpoissonianes és la llum tèrmica. La intensitat de la llum tèrmica fluctua aleatòriament i les fluctuacions donen lloc a estadístiques superpoissonianes, tal com es mostra a continuació calculant la distribució de les fluctuacions d'intensitat.I. Deutsch, Quantum Optics Course Fall 2015, http://info.phys.unm.edu/~ideutsch/Classes/Phys566F15/Lectures/Phys566_Lect02.pdf. Retrieved 9 December 2015 Utilitzant la distribució d'intensitat juntament amb la fórmula de Mandel, que descriu la probabilitat del nombre de recomptes de fotons registrats per un fotodetector, es pot obtenir la distribució estadística dels fotons en la llum tèrmica.
La llum tèrmica es pot modelar com un conjunt de oscil·ladors harmònics. Suposem que L'oscil·lador -èsim emet un camp electromagnètic amb fase . Utilitzant la teoria de superposició de camps, el camp total produït per la oscil·ladors és
Després d'extreure totes les variables que són independents de l'índex de suma , una amplitud complexa aleatòria es pot definir per
on va ser reescrit en termes de la seva magnitud i la seva fase Com que els oscil·ladors no estan correlacionats, la fase del camp superposat serà aleatòria. Per tant, l'amplitud complexa és una variable estocàstica. Representa la suma de les fases no correlacionades dels oscil·ladors que modelen les fluctuacions d'intensitat de la llum tèrmica. En el pla complex, representa un caminador aleatori bidimensional amb que representen els passos realitzats. Per a grans un caminador aleatori té una distribució de probabilitat gaussiana. Per tant, la distribució de probabilitat conjunta per a les parts real i imaginària de la variable aleatòria complexa es pot representar com,
Després passos, el valor esperat del radi al quadrat és El valor esperat que es pot considerar com totes les direccions amb la mateixa probabilitat. Reescrivint la distribució de probabilitat en termes de resultats en
Amb la distribució de probabilitat anterior, ara podem trobar la intensitat mitjana del camp (on s'han omès diverses constants per a més claredat)
La intensitat instantània del camp ve donat per
Com que el camp elèctric i, per tant, la intensitat depenen de la variable complexa estocàstica La probabilitat d'obtenir una intensitat entre i és
on és l'element infinitesimal del pla complex. Aquest element infinitesimal es pot reescriure com
La distribució d'intensitat anterior ara es pot escriure com
Aquesta última expressió representa la distribució d'intensitat de la llum tèrmica. L'últim pas per mostrar que la llum tèrmica satisfà la condició de variància per a les estadístiques de super-Poisson és utilitzar la fórmula de Mandel. La fórmula descriu la probabilitat d'observar n recomptes de fotons i ve donada per
El factor on és l'eficiència quàntica que descriu l'eficiència del comptador de fotons. Un detector perfecte tindria . és la intensitat incident sobre una àrea A del fotodetector i ve donada perJ. W. Goodman, Statistical Optics, Wiley, New York, (1985) 238-256, 466-468 miniatura|426x426px|Comparació de les distribucions de Poisson i Bose-Einstein. La distribució de Poisson és característica de la llum coherent mentre que la distribució de Bose-Einstein és característica de la llum tèrmica. Ambdues distribucions tenen el mateix valor esperat. .
En substituir la distribució de probabilitat d'intensitat de la llum tèrmica per P(I), la fórmula de Mandel esdevé
Utilitzant la fórmula següent per avaluar la integral
La distribució de probabilitat per a n recomptes de fotons d'una font de llum tèrmica és
on és el nombre mitjà de recomptes. Aquesta última distribució es coneix com a distribució de Bose-Einstein. La variància de la distribució es pot demostrar que és
A diferència de la distribució de Poisson per a una font de llum coherent, la distribució de Bose-Einstein té característica de la llum tèrmica.
Llum subpoissoniana miniatura|371x371px|Esquema de l'esquema de correlació d'intensitat homodina descrit a . SI, camp de senyal, LO, oscil·lador local, BS, divisor de feix, SL, llum superposada, C, correlador. Els fotodetectors (elements negres) envien senyals elèctrics al correlador on es mesura la correlació d'intensitat. La llum que es regeix per l'estadística sub-Poisson no es pot descriure per la teoria electromagnètica clàssica i es defineix per .M. Fox, Quantum Optics: An Introduction, Oxford University Press, New York, 2006 L'aparició de fotodetectors ultraràpids ha permès mesurar la naturalesa subpoissoniana de la llum. Un exemple de llum que presenta estadístiques subpoissonianes és la llum comprimida. Recentment, investigadors han demostrat que es pot induir llum subpoissoniana en un punt quàntic que presenta fluorescència de ressonància. Una tècnica utilitzada per mesurar l'estructura subpoissoniana de la llum és un esquema de correlació d'intensitat homodina. En aquest esquema, un oscil·lador local i un camp de senyal se superposen mitjançant un divisor de feix. La llum superposada es divideix mitjançant un altre divisor de feix i cada senyal es registra mitjançant fotodetectors individuals connectats a un correlador des del qual es pot mesurar la correlació d'intensitat. L'evidència de la naturalesa subpoissoniana de la llum es mostra obtenint una correlació d'intensitat negativa, com es va mostrar.
Referències
Categoria:Òptica Categoria:Estadística