miniatura|El xoc és compressiu perquè la velocitat característica (en l'aire, la velocitat del so) darrere del xoc és més gran que la del xoc, que és més gran que la velocitat característica davant del xoc. La velocitat característica és la velocitat de petites pertorbacions que es desplacen. El problema de Guderley-Landau-Stanyukovich descriu l'evolució temporal de les ones de xoc convergents. El problema va ser discutit per G. Guderley el 1942Guderley, K. G. (1942). Starke kugelige und zylindrische verdichtungsstosse in der nahe des kugelmitterpunktes bnw. der zylinderachse. Luftfahrtforschung, 19, 302. i independentment per Lev Landau i KP Stanyukovich el 1944, i l'anàlisi dels autors posteriors es va publicar el 1955.Stanyukovich, K. P. (2016). Unsteady motion of continuous media. Elsevier.

Descripció matemàtica Considereu una ona de xoc esfèricament convergent que s'ha iniciat per algun mitjà en una ubicació radial i dirigida cap al centre. A mesura que l'ona de xoc viatja cap a l'origen, la seva força augmenta, ja que l'ona de xoc comprimeix cada cop menys massa a mesura que es propaga. La ubicació de l'ona de xoc per tant varia amb el temps. La solució autosimilar que es descriu correspon a la regió , és a dir, l'ona de xoc ha viatjat prou com per oblidar la condició inicial.

Com que l'ona de xoc a la regió autosimilar és forta, la pressió darrere de l'ona és molt gran en comparació amb la pressió que hi ha davant de l'ona Segons les condicions de Rankine-Hugoniot, per a ones fortes, tot i que , , on representa la densitat del gas; en altres paraules, el salt de densitat a través de l'ona de xoc és finit. Per a l'anàlisi, es pot assumir, doncs, i , que al seu torn elimina l'escala de velocitat establint des de .

En aquest punt, val la pena assenyalar que el problema anàleg en què una ona de xoc forta que es propaga cap a l'exterior es descriu per l'ona expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov. La descripció de l'ona expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov utilitza i el contingut energètic total del flux per desenvolupar una solució autosimilar. A diferència d'aquest problema, l'ona de xoc en implosió no és autosimilar en tota la regió (el camp de flux a prop de depèn de la manera com es genera l'ona de xoc) i, per tant, el problema de Guderley-Landau-Stanyukovich intenta descriure de manera autosimilar el camp de flux només per a ; en aquesta regió autosimilar, l'energia no és constant i, de fet, es demostrarà que disminueix amb el temps (l'energia total de tota la regió continua sent constant). Com que la regió autosimilar és petita en comparació amb la mida inicial de la regió de l'ona de xoc, només una petita fracció de l'energia total s'acumula a la regió autosimilar. Per tant, el problema no conté cap escala de longitud per utilitzar arguments dimensionals per esbrinar la descripció autosimilar, és a dir, la dependència de en no es pot determinar només amb arguments dimensionals. Els problemes d'aquest tipus es descriuen mitjançant la solució autosimilar de segon tipus.

Per comoditat, mesura el temps de manera que l'ona de xoc convergent arribi a l'origen en el temps Per a , el xoc convergent s'acosta a l'origen i per a , l'ona de xoc reflectida emergeix des de l'origen. La ubicació de l'ona de xoc se suposa que està descrit per la funció

on és l'índex de similitud i és una constant. El xoc reflectit emergeix amb el mateix índex de similitud. El valor de es determina a partir de la condició que existeixi una solució autosimilar, mentre que la constant no es pot descriure a partir de l'anàlisi autosimilar; la constant conté informació de la regió i, per tant, només es pot determinar quan es resol tota la regió del flux. La dimensió de es trobarà només després de resoldre Per a l'ona expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov, es poden utilitzar arguments dimensionals per obtenir

La velocitat de l'ona de xoc ve donada per

Segons les condicions de Rankine-Hugoniot, la velocitat del gas , pressió i densitat immediatament darrere del fort front de xoc, per a un gas ideal, es donen per

Aquestes serviran com a condicions de contorn per al flux darrere del front de xoc.

Solució autosimilar Les equacions governants són

on és la densitat, és la pressió, és l'entropia i és la velocitat radial. En lloc de la pressió , podem utilitzar la velocitat del so utilitzant la relació .

Per obtenir les equacions autosimilars, introduïmLandau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2000). Fluid Mechanics (Course of Theoretical Physics, Volume 6). Reed Educational and Professional Publishing Ltd,.Zeldovich, Y. B., Raizer, Y. P., Hayes, W. D., & Probstein, R. F. (1967). Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena. Vol. 2 (p. 685-784). New York: Academic Press.Sedov, L. I., & Volkovets, A. G. (2018). Similarity and dimensional methods in mechanics. CRC press.

Tingueu en compte que, com que tots dos i són negatius, Formalment, s'ha de trobar la solució per al rang Les condicions de contorn a són donats per

Les condicions de contorn a es pot derivar de l'observació en el moment del col·lapse , en què esdevé infinit. En el moment del col·lapse, les variables de flux a qualsevol distància de l'origen han de ser finites, és a dir, i ha de ser finit per a Això només és possible si

Substituint les variables autosimilars a les equacions governants, obtenim

A partir d'aquí, podem resoldre fàcilment i (o, ) per trobar dues equacions. Com a tercera equació, podríem trobar dues de les equacions eliminant la variable . Les equacions resultants són

on i . Es pot veure fàcilment un cop resolta la tercera equació per a , les dues primeres equacions es poden integrar utilitzant quadratures simples. miniatura|300x300px|Corba integral de Guderley-Landau-Stanyukovich per a La tercera equació és l'equació diferencial de primer ordre per a la funció amb la condició de contorn relacionat amb la condició darrere del front de xoc. Però hi ha una altra condició de contorn que cal complir, és a dir, relacionat amb la condició trobada a . Aquesta condició addicional no es pot complir per a cap valor arbitrari de , però només existeix un valor de per la qual cosa es pot complir la segona condició. Així s'obté com a valor propi. Aquest valor propi es pot obtenir numèricament.

La condició que determina 𝛼 es pot explicar representant la corba integral com es mostra a la figura com una corba contínua. El punt 𝐴 és la condició inicial per a l'equació diferencial, és a dir, . La corba integral ha d'acabar al punt . A la mateixa figura, la paràbola corresponent a la condició també es representa com una corba de punts. Es pot demostrar fàcilment que el punt 𝐴 sempre es troba per sobre d'aquesta paràbola. Això significa que la corba integral ha de tallar la paràbola per arribar al punt .En les tres equacions diferencials, la relació apareix, cosa que implica que aquesta relació s'anul·la en el punt 𝐵 on la corba integral interseca la paràbola. El requisit físic per a les funcions i és que han de ser funcions univaluades de 𝜉 per obtenir una solució única. Això significa que les funcions i no pot tenir extrems enlloc dins del domini. Però en el punt 𝐵,Δ/Δ1 pot anul·lar-se, cosa que indica que les funcions esmentades anteriorment tenen extrems. L'única manera d'evitar aquesta situació és fer que la relació a finit. És a dir, com que Δ esdevé zero, cal que Δ1 també sigui zero de manera que s'obtingui Δ/Δ1=0/0 finit. A 𝐵

Les integracions numèriques de la tercera equació proporcionen per i per Aquests valors per a es pot comparar amb una fórmula aproximada , derivat per Landau i Stanyukovich. Es pot establir que com a , En general, l'índex de similitud és un nombre irracional.

Referències

Categoria:Dinàmica de fluids Categoria:Combustió