En matemàtiques, la derivada total d'una funció en un punt s'utilitza per expressar la millor aproximació lineal prop d'aquest punt de la funció respecte als seus arguments. A diferència de les derivades parcials, la derivada total aproxima la funció respecte a tots els seus arguments, no només a un de sol. En moltes situacions, això és el mateix que considerar totes les derivades parcials simultàniament. El terme "derivada total" s'utilitza principalment quan és una funció de diverses variables, perquè quan és una funció d'una sola variable, la derivada total és la mateixa que la derivada ordinària de la funció.

La derivada total com a aplicació lineal Sigui sigui un subconjunt obert. Aleshores una funció es diu que és (totalment) diferenciable en un punt si existeix una transformació lineal de tal manera que

El mapa lineal s'anomena derivada ( total) de a .Note that ; is not an argument of but a factor multiplied to it. Altres notacions per a la derivada total inclouen i Una funció és (totalment) diferenciable si la seva derivada total existeix en cada punt del seu domini.

Conceptualment, la definició de la derivada total expressa la idea que determina la millor aproximació lineal per a al punt Això es pot precisar quantificant l'error en l'aproximació lineal determinada per Per fer-ho, escriviu

on és igual a l'error en l'aproximació. Dir que la derivada de a és és equivalent a l'afirmació

on és una notació amb una o petita i indica que és molt més petit que com La derivada total és l' única transformació lineal per a la qual el terme d'error és tan petit, i aquest és el sentit en què és la millor aproximació lineal a .

La funció és diferenciable si i només si cadascun dels seus components és diferenciable, de manera que quan s'estudien derivades totals, sovint és possible treballar amb una coordenada a la vegada en el codomini. Tanmateix, el mateix no passa amb les coordenades del domini. És cert que si és diferenciable a , aleshores cada derivada parcial existeix a . El contrari no es compleix: pot passar que totes les derivades parcials de a existeixen, però no és diferenciable a Això significa que la funció és molt "aproximada" a , fins a un extrem tan extrem que el seu comportament no es pot descriure adequadament pel seu comportament en les direccions de coordenades. Quan no és tan aproximat, això no pot passar. Més precisament, si totes les derivades parcials de a existeixen i són continus en un veïnat de , aleshores és diferenciable a Quan això passa, a més, la derivada total de és la transformació lineal corresponent a la matriu jacobiana de derivades parcials en aquest punt.

La derivada total com a forma diferencial Quan la funció considerada té valors reals, la derivada total es pot reformular utilitzant formes diferencials. Per exemple, suposem que és una funció diferenciable de variables La derivada total de a es pot escriure com la matriu jacobiana, que en aquest cas és una matriu de files (una matriu que consisteix en elements en una sola fila, és a dir, un vector de files):

La propietat d'aproximació lineal de la derivada total implica que si

és un vector petit (on el denota transposició, de manera que aquest vector és un vector columna), aleshores

Heurísticament, això suggereix que si són increments infinitesimals en les direccions de les coordenades, aleshores

i aquest és el diferencial total de a De fet, la noció d'infinitesimal, que aquí és merament simbòlica, es pot dotar d'una extensa estructura matemàtica. Tècniques com la teoria de formes diferencials, donen descripcions analítiques i algebraiques d'objectes com ara increments infinitesimals, Per exemple, es pot inscriure com una funcional lineal a l'espai vectorial Avaluació en un vector en mesura quant "punts" en el direcció de coordenades -èsimes. El diferencial total és una combinació lineal de funcionals lineals i, per tant, és en si mateixa un funcional lineal. L'avaluació mesura quant punts en la direcció determinada per a , i aquesta direcció és el gradient. Aquest punt de vista fa que la derivada total sigui una instància de la derivada exterior.

Suposem ara que és una funció vectorial, és a dir, En aquest cas, els components de són funcions amb valors reals, de manera que tenen formes diferencials associades El diferencial total amalgama aquestes formes en un sol objecte i, per tant, és una instància d'una forma diferencial amb valors vectorials.

La regla de la cadena per a les derivades totals La regla de la cadena té una afirmació particularment elegant en termes de derivades totals. Diu que, per a dues funcions i , la derivada total de la funció composta a satisfà

Si les derivades totals de i s'identifiquen amb les seves matrius jacobianes, aleshores la funció composta de la dreta és simplement multiplicació de matrius. Això és enormement útil en aplicacions, ja que permet tenir en compte dependències essencialment arbitràries entre els arguments d'una funció composta.

Exemple: Diferenciació amb dependències directes Suposem que f és una funció de dues variables, x i y. Si aquestes dues variables són independents, de manera que el domini de f és , aleshores el comportament de f es pot entendre en termes de les seves derivades parcials en les direccions x i y. Tanmateix, en algunes situacions, x i y poden ser dependents. Per exemple, pot passar que f estigui restringida a una corba En aquest cas, en realitat ens interessa el comportament de la funció composta . La derivada parcial de f respecte a x no dóna la veritable taxa de canvi de f respecte al canvi de x perquè canviar x necessàriament canvia y. Tanmateix, la regla de la cadena per a la derivada total té en compte aquestes dependències. Escriviu Aleshores, la regla de la cadena diu

Si expressem la derivada total utilitzant matrius jacobianes, això esdevé:

Suprimint l'avaluació a per a la llegibilitat, també podem escriure això com

Això dóna una fórmula senzilla per a la derivada de en termes de les derivades parcials de i la derivada de .

Per exemple, suposem

La taxa de canvi de f respecte a x sol ser la derivada parcial de f respecte a x ; en aquest cas,

Tanmateix, si y depèn de x, la derivada parcial no dóna la veritable taxa de canvi de f a mesura que x canvia perquè la derivada parcial assumeix que y és fixa. Suposem que estem restringits a la recta

Aleshores

i la derivada total de f respecte a x és

que veiem que no és igual a la derivada parcial . En comptes de substituir immediatament per y en termes de x, també podem utilitzar la regla de la cadena com s'ha esmentat anteriorment:

Exemple: Diferenciació amb dependències indirectes Tot i que sovint es poden fer substitucions per eliminar dependències indirectes, la regla de la cadena proporciona una tècnica més eficient i general. Suposem és una funció del temps i variables que depenen del temps. Aleshores, la derivada temporal de és

La regla de la cadena expressa aquesta derivada en termes de les derivades parcials de i les derivades temporals de les funcions :

Aquesta expressió s'utilitza sovint en física per a una transformació de gauge del lagrangià, com dos lagrangians que només difereixen per la derivada total en el temps d'una funció del temps i la Les coordenades generalitzades condueixen a les mateixes equacions de moviment. Un exemple interessant és la resolució de la causalitat en relació amb la teoria simètrica del temps de Wheeler-Feynman. L'operador entre parèntesis (a l'expressió final anterior) també s'anomena operador derivada total (respecte a ).

Per exemple, la derivada total de és

Aquí no hi ha terme des de no depèn de la variable independent directament.

Equació diferencial total Una equació diferencial total és una equació diferencial expressada en termes de derivades totals. Com que la derivada exterior no té coordenades, en un sentit que es pot donar un significat tècnic, aquestes equacions són intrínseques i geomètriques.

Aplicació a sistemes d'equacions En economia, és comú que la derivada total sorgeixi en el context d'un sistema d'equacions.Per exemple, un sistema simple d'oferta i demanda podria especificar la quantitat q d'un producte demandat com a funció D del seu preu p i la renda dels consumidors I, aquesta última una variable exògena, i podria especificar la quantitat oferta pels productors com a funció S del seu preu i dues variables exògenes de cost dels recursos r i w. El sistema d'equacions resultant

determina els valors d'equilibri de mercat de les variables p i q. La derivada total de p respecte a r, per exemple, dóna el signe i la magnitud de la reacció del preu de mercat a la variable exògena r. En el sistema indicat, hi ha un total de sis possibles derivades totals, també conegudes en aquest context com a derivades estàtiques comparatives: , , , , i . Les derivades totals es troben diferenciant totalment el sistema d'equacions, dividint-lo per, per exemple, , tractant i com a incògnites, establint i resolent les dues equacions totalment diferenciades simultàniament, normalment utilitzant la regla de Cramer.

Referències

Categoria:Càlcul diferencial