En matemàtiques i teoria de la probabilitat, la teoria de la percolació contínua és una branca de les matemàtiques que estén la teoria de la percolació discreta a l'espai continu (sovint l'espai euclidià ). Més concretament, els punts subjacents de la percolació discreta formen tipus de xarxes, mentre que els punts subjacents de la percolació contínua sovint es posicionen aleatòriament en algun espai continu i formen un tipus de procés puntual. Per a cada punt, sovint s'hi col·loca una forma aleatòria i les formes se superposen entre si per formar grups o components. Igual que en la percolació discreta, un enfocament de recerca comú de la percolació contínua és estudiar les condicions d'ocurrència de components infinits o gegants. Existeixen altres conceptes i tècniques d'anàlisi compartits en aquests dos tipus de teoria de la percolació, així com l'estudi de gràfics aleatoris i gràfics geomètrics aleatoris.

La percolació contínua va sorgir d'un model matemàtic primerenc per a xarxes sense fil, que, amb l'auge de diverses tecnologies de xarxes sense fil en els darrers anys, s'ha generalitzat i estudiat per tal de determinar els límits teòrics de la capacitat d'informació i el rendiment a les xarxes sense fil. A més d'aquest entorn, la percolació contínua ha guanyat aplicació en altres disciplines, com ara la biologia, la geologia i la física, com ara l'estudi de materials porosos i semiconductors, alhora que s'ha convertit en un tema d'interès matemàtic per dret propi.

Història primerenca A principis dels anys seixanta, Edgar Gilbert va proposar un model matemàtic en xarxes sense fil que va donar lloc al camp de la teoria de la percolació contínua, generalitzant així la percolació discreta. Els punts subjacents d'aquest model, de vegades conegut com a model de disc de Gilbert, estaven dispersos uniformement en el pla infinit segons un procés de Poisson homogeni. Gilbert, que havia notat similituds entre la percolació discreta i la contínua, va utilitzar conceptes i tècniques de la probabilitat dels processos de ramificació per demostrar que existia un valor llindar per al component infinit o "gegant".

Definicions i terminologia Els noms exactes, la terminologia i les definicions d'aquests models poden variar lleugerament segons la font, cosa que també es reflecteix en l'ús de la notació de processos puntuals.

Models comuns Existeixen diversos models ben estudiats en percolació contínua, que sovint es basen en processos puntuals de Poisson homogenis.

Model de disc Considereu una col·lecció de punts en el pla que formen un procés de Poisson homogeni amb densitat (de punts) constant . Per a cada punt del procés de Poisson (és a dir, ), col·loqueu un disc amb el centre situat al punt . Si cada disc té un radi aleatori (d'una distribució comuna) que és independent de tots els altres radis i de tots els punts subjacents , aleshores l'estructura matemàtica resultant es coneix com a model de disc aleatori.

Model booleà Donat un model de disc aleatori, si es pren la unió conjunta de tots els discs , aleshores l'estructura resultant es coneix com a model booleà-Poisson (també conegut simplement com a model booleà), que és un model estudiat habitualment en percolació contínua, així com en geometria estocàstica. Si tots els radis s'estableixen en una constant comuna, per exemple, , aleshores el model resultant de vegades es coneix com a model de disc de Gilbert (booleà). alt=Percolation in the Boolean–Poisson (constant disk) model.|miniatura|Simulació de 4 models de Poisson-Booleans (radi constant o disc de Gilbert) a mesura que la densitat augmenta amb els cúmuls més grans en vermell.

Model de gra germinal El model de disc es pot generalitzar a formes més arbitràries on, en lloc d'un disc, es col·loca una forma compacta aleatòria (per tant, limitada i tancada en ) a cada punt . De nou, cada forma té una distribució comuna i independent de totes les altres formes i del procés puntual subjacent (de Poisson). Aquest model es coneix com a model germen-gra, on els punts subjacents són els gèrmens i les formes compactes aleatòries són els grans. La unió conjunta de totes les formes forma un model booleà germen-gra. Les opcions típiques per als grans inclouen discs, polígons aleatoris i segments de longitud aleatòria.

Els models booleans també són exemples de processos estocàstics coneguts com a processos de cobertura. Els models anteriors es poden estendre des del pla fins a l'espai euclidià general .

Components i criticalitat En el model booleà-Poisson, els discs poden tenir grups o grups de discs aïllats que no entren en contacte amb cap altre grup de discs. Aquests grups es coneixen com a components. Si l'àrea (o el volum en dimensions superiors) d'un component és infinita, es diu que és un component infinit o "gegant". Un dels principals objectius de la teoria de la percolació és establir les condicions en què existeixen components gegants en els models, cosa que té paral·lelismes amb l'estudi de les xarxes aleatòries. Si no existeix cap component gran, es diu que el model és subcrític. Les condicions de criticalitat del component gegant depenen naturalment de paràmetres del model, com ara la densitat del procés puntual subjacent.

Teoria de l'àrea exclosa L'àrea exclosa d'un objecte col·locat es defineix com l'àrea mínima al voltant de l'objecte en la qual no es pot col·locar un objecte addicional sense superposar-se amb el primer objecte. Per exemple, en un sistema de rectangles homogenis orientats aleatòriament de longitud l , amplada i relació d'aspecte

En un sistema d'el·lipses idèntiques amb semieixos i i raó

La teoria de l'àrea exclosa estableix que la densitat numèrica crítica (llindar de percolació) d'un sistema és inversament proporcional a l'àrea exclosa mitjana :

S'ha demostrat mitjançant simulacions de Montecarlo que el llindar de percolació tant en sistemes homogenis com heterogenis de rectangles o el·lipses està dominat per les àrees excloses mitjanes i es pot aproximar força bé mitjançant la relació lineal

amb una constant de proporcionalitat en el rang 3,1–3,5.

Aplicacions alt=Possible coverage model.|miniatura|Un model booleà com a model de cobertura en una xarxa sense fil. Les aplicacions de la teoria de la percolació són diverses i abasten des de la ciència dels materials fins als sistemes de comunicació sense fil. Sovint, el treball consisteix a demostrar que es produeix un tipus de transició de fase en el sistema.

Xarxes sense fil Les xarxes sense fil de vegades es representen millor amb models estocàstics a causa de la seva complexitat i imprevisibilitat, per la qual cosa la percolació contínua s'ha utilitzat per desenvolupar models de geometria estocàstica de xarxes sense fil. Per exemple, les eines de la teoria de la percolació contínua i els processos de cobertura s'han utilitzat per estudiar la cobertura i la connectivitat de les xarxes de sensors. Una de les principals limitacions d'aquestes xarxes és el consum d'energia, on normalment cada node té una bateria i una forma integrada de recol·lecció d'energia. Per reduir el consum d'energia a les xarxes de sensors, s'han suggerit diversos esquemes de repòs que impliquen que una subcol·lecció de nodes entri en un mode de repòs de baix consum d'energia. Aquests esquemes de repòs afecten òbviament la cobertura i la connectivitat de les xarxes de sensors. S'han proposat models simples d'estalvi d'energia, com ara el model simple de "parpelleig" no coordinat on (a cada interval de temps) cada node s'apaga (o s'encén) independentment amb una probabilitat fixa. Utilitzant les eines de la teoria de la percolació, s'ha analitzat un model de Poisson booleà parpellejant per estudiar els efectes de latència i connectivitat d'un esquema d'energia tan simple.

Referències

Categoria:Probabilitat