En matemàtiques, i en particular en àlgebra lineal, la inversa de Moore–Penrose A+ d'una matriu A, sovint anomenada pseudoinversa, és la generalització més coneguda de la matriu inversa. Va ser descrita independentment per EH Moore el 1920, Arne Bjerhammar el 1951, i Roger Penrose el 1955. Anteriorment, Erik Ivar Fredholm havia introduït el concepte de pseudoinversa d'operadors integrals el 1903. Els termes pseudoinversa i inversa generalitzada de vegades s'utilitzen com a sinònims de la inversa de Moore-Penrose d'una matriu, però de vegades s'apliquen a altres elements d'estructures algebraiques que comparteixen algunes, però no totes, les propietats esperades per a un element invers.
Un ús comú de la pseudoinversa és calcular una solució aproximada de "millor ajust" (mínims quadrats) a un sistema d'equacions lineals que no té una solució exacta. Un altre ús és trobar la solució de norma mínima (euclidiana) a un sistema d'equacions lineals amb múltiples solucions. La pseudoinversa facilita l'enunciat i la demostració de resultats en àlgebra lineal.
La pseudoinversa es defineix per a totes les matrius rectangulars les entrades de les quals són nombres reals o complexos. Donada una matriu rectangular amb entrades reals o complexes, la seva pseudoinversa és única. Es pot calcular mitjançant la descomposició en valors singulars. En el cas especial on A és una matriu normal (per exemple, una matriu hermitiana), la pseudoinversa A+ del nucli A i actua com a inversa tradicional d'A el subespai ortogonal al nucli.
Notació Per , una pseudoinversa d' es defineix com una matriu A+ pertanyent a Knxm complint tots els quatre criteris següents, coneguts com a condicions de Moore-Penrose:
no ha de ser necessàriament la matriu d'identitat general, però assigna tots els vectors columna d'A a si mateixos: actua com una inversa feble: és hermítica: també és hermítica:
Tingueu en compte que i són operadors idempotents, tal com es desprèn de i Més concretament, projecta sobre la imatge de (equivalentment, l'abast de les files de ), i projecta sobre la imatge de (equivalentment, l'abast de les columnes de ). De fet, les quatre condicions anteriors són totalment equivalents a i essent aquestes projeccions ortogonals: projectant sobre la imatge de implica , i projectant sobre la imatge de implica .
Propietats Existència i singularitat Com s'ha comentat anteriorment, per a qualsevol A hi ha un i només pseudoinvers A+. Una matriu que només compleixi la primera de les condicions donades anteriorment, és a dir, , es coneix com a inversa generalitzada. Si la matriu també compleix la segona condició, és a dir , s'anomena invers reflexiu generalitzat. Els inversos generalitzats sempre existeixen però en general no són únics. La unicitat és una conseqüència de les dues últimes condicions.
Propietats bàsiques Les demostracions de les propietats següents es poden trobar a b:Temes d'àlgebra abstracta/àlgebra lineal.
Si té entrades reals, aleshores també les té . Si és invertible, el seu pseudoinvers és el seu invers. És a dir, .. La pseudoinversa de la pseudoinversa és la matriu original: . La pseudoinversió commuta amb la transposició, la conjugació complexa i prenent la transposició conjugada: El pseudoinvers d'un múltiple escalar de és el múltiple recíproc de :per ; altrament, , or . El nucli i la imatge de la pseudoinversa coincideixen amb els de la transposició conjugada: i .
Exemples Com que per a matrius invertibles la pseudoinversa és igual a la inversa habitual, a continuació només es consideren exemples de matrius no invertibles.
Per a el pseudoinvers és La singularitat d'aquest pseudoinvers es pot veure a partir del requisit , ja que la multiplicació per una matriu zero sempre produiria una matriu zero. Per a el pseudoinvers és .
Per a Per a Els denominadors són aquí Per a Per a el pseudoinvers és
Referències
Categoria:Àlgebra lineal Categoria:Matrius